Theorem termc2 49550

Description: If there exists a unique functor from both the category itself and the trivial category, then the category is terminal. Note that the converse also holds, so that it is a biconditional. See the proof of termc 49551 for hints. See also eufunc 49554 and euendfunc2 49559 for some insights on why two categories are sufficient. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
termc2	⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable group:   𝐶,𝑑,𝑓

Proof of Theorem termc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}) = (CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})
2		fvex 6830	. . . . . 6 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ V
3	2	prid2 4711	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ {𝐶, (SetCat‘1o)}
4		setc1oterm 49523	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
5	3, 4	elini 4144	. . . 4 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ TermCat)
6	5	ne0ii 4289	. . 3 ⊢ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ TermCat) ≠ ∅
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ TermCat) ≠ ∅)
8	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (SetCat‘1o) ∈ TermCat)
9	8	termccd 49511	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (SetCat‘1o) ∈ Cat)
10	9	mptru 1548	. . . . . . 7 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ Cat
11	3, 10	elini 4144	. . . . . 6 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)
12		oveq1 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (SetCat‘1o) → (𝑑 Func 𝐶) = ((SetCat‘1o) Func 𝐶))
13	12	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (SetCat‘1o) → (𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) ↔ 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶)))
14	13	eubidv 2581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (SetCat‘1o) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶)))
15	14	rspcv 3568	. . . . . 6 ⊢ ((SetCat‘1o) ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat) → (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶)))
16	11, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶))
17		euen1b 8945	. . . . 5 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶))
18	16, 17	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → ((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o)
19		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})) = (Base‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))
20		prex 5370	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐶, (SetCat‘1o)} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → {𝐶, (SetCat‘1o)} ∈ V)
22	1, 19, 21	catcbas 18003	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (Base‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})) = ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat))
23	22	mptru 1548	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})) = ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)
24	23	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat) = (Base‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))
25		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})) = (Hom ‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))
26	1	catccat 18010	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∈ V → (CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}) ∈ Cat)
27	20, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}) ∈ Cat
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o → (CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}) ∈ Cat)
29		euex 2572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶) → ∃𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶))
30		funcrcl 17765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶) → ((SetCat‘1o) ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
31	30	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
32	31	exlimiv 1931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ ((SetCat‘1o) Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
34	17, 33	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o → 𝐶 ∈ Cat)
35		prid1g 4708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ {𝐶, (SetCat‘1o)})
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o → 𝐶 ∈ {𝐶, (SetCat‘1o)})
37	36, 34	elind 4145	. . . . . 6 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o → 𝐶 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat))
38	24, 25, 28, 37	istermo 17899	. . . . 5 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o → (𝐶 ∈ (TermO‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})) ↔ ∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))𝐶)))
39	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o ∧ 𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)) → {𝐶, (SetCat‘1o)} ∈ V)
40		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o ∧ 𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)) → 𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat))
41	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o ∧ 𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)) → 𝐶 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat))
42	1, 24, 39, 25, 40, 41	catchom 18005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o ∧ 𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)) → (𝑑(Hom ‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))𝐶) = (𝑑 Func 𝐶))
43	42	eleq2d 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o ∧ 𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)) → (𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))𝐶) ↔ 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
44	43	eubidv 2581	. . . . . 6 ⊢ ((((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o ∧ 𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))𝐶) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
45	44	ralbidva 3153	. . . . 5 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o → (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)}))𝐶) ↔ ∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
46	38, 45	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((SetCat‘1o) Func 𝐶) ≈ 1o → (𝐶 ∈ (TermO‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})) ↔ ∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
47	18, 46	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → (𝐶 ∈ (TermO‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})) ↔ ∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
48	47	ibir 268	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ (TermO‘(CatCat‘{𝐶, (SetCat‘1o)})))
49	1, 7, 48	termcterm2 49546	1 ⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  ∅c0 4278  {cpr 4573   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1_oc1o 8373   ≈ cen 8861  Basecbs 17115  Hom chom 17167  Catccat 17565   Func cfunc 17756  TermOctermo 17884  SetCatcsetc 17977  CatCatccatc 18000  TermCatctermc 49504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-sect 17649  df-inv 17650  df-iso 17651  df-cic 17698  df-func 17760  df-idfu 17761  df-cofu 17762  df-full 17808  df-fth 17809  df-termo 17887  df-setc 17978  df-catc 18001  df-thinc 49450  df-termc 49505

This theorem is referenced by:  termc  49551