Theorem 2tceilhalfelfzo1 48679

Description: Two times a positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is less than the other integer. This theorem would hold even for integers less than 3, but then a corresponding 𝐾 would not exist. (Contributed by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2tceilhalfelfzo1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

Proof of Theorem 2tceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo1 13887	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
2		nnz 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnz 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6	3, 5	zltlem1d 12790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) ↔ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)))
7		nnre 12382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		nnre 12382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
11		1red 11348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	resubcld 11783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
15		eluzelre 13016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1))
20		ceilm1lt 14028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
23	9, 14, 18, 19, 22	lelttrd 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 < (𝑁 / 2))
24	23	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → 𝐾 < (𝑁 / 2)))
25		2re 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℝ)
27		2pos 12487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 < 2)
29		ltmul2 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
30	8, 17, 26, 28, 29	syl112anc 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
31		eluzelcn 13017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divcan2d 12135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
37	36	breq2d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
38	37	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
39	30, 38	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
40	24, 39	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
41	6, 40	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
42	41	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
43	42	com34 92	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
44	43	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
45	1, 44	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
46	45	impcom 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828  ⌈cceil 13971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-ceil 13973

This theorem is used by:  modmknepk  48711