Theorem 2tceilhalfelfzo1 47991

Description: Two times a positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is less than the other integer. This theorem would hold even for integers less than 3, but then a corresponding 𝐾 would not exist. (Contributed by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2tceilhalfelfzo1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

Proof of Theorem 2tceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo1 13734	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
2		nnz 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnz 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6	3, 5	zltlem1d 12654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) ↔ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)))
7		nnre 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
11		1red 11244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	resubcld 11673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
15		eluzelre 12871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1))
20		ceilm1lt 13870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
23	9, 14, 18, 19, 22	lelttrd 11401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 < (𝑁 / 2))
24	23	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → 𝐾 < (𝑁 / 2)))
25		2re 12322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℝ)
27		2pos 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 < 2)
29		ltmul2 12100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
30	8, 17, 26, 28, 29	syl112anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
31		eluzelcn 12872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divcan2d 12027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
37	36	breq2d 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
38	37	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
39	30, 38	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
40	24, 39	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
41	6, 40	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
42	41	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
43	42	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
44	43	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
45	1, 44	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
46	45	impcom 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138   · cmul 11142   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  3c3 12304  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13676  ⌈cceil 13813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-ceil 13815

This theorem is referenced by:  gpg3nbgrvtxlem  47996