Theorem 2tceilhalfelfzo1 48513

Description: Two times a positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is less than the other integer. This theorem would hold even for integers less than 3, but then a corresponding 𝐾 would not exist. (Contributed by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2tceilhalfelfzo1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

Proof of Theorem 2tceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo1 13852	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
2		nnz 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnz 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6	3, 5	zltlem1d 12755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) ↔ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)))
7		nnre 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		nnre 12347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
11		1red 11314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	resubcld 11749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
15		eluzelre 12981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1))
20		ceilm1lt 13993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
23	9, 14, 18, 19, 22	lelttrd 11473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 < (𝑁 / 2))
24	23	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → 𝐾 < (𝑁 / 2)))
25		2re 12422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℝ)
27		2pos 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 < 2)
29		ltmul2 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
30	8, 17, 26, 28, 29	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
31		eluzelcn 12982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divcan2d 12100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
37	36	breq2d 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
38	37	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
39	30, 38	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
40	24, 39	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
41	6, 40	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
42	41	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
43	42	com34 92	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
44	43	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
45	1, 44	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
46	45	impcom 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   · cmul 11210   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546   / cdiv 11978  ℕcn 12340  2c2 12402  3c3 12403  ℤcz 12698  ℤ_≥cuz 12970  ..^cfzo 13793  ⌈cceil 13936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-ceil 13938

This theorem is used by:  modmknepk  48545