Theorem 2tceilhalfelfzo1 48073

Description: Two times a positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is less than the other integer. This theorem would hold even for integers less than 3, but then a corresponding 𝐾 would not exist. (Contributed by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2tceilhalfelfzo1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

Proof of Theorem 2tceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo1 13737	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
2		nnz 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnz 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6	3, 5	zltlem1d 12643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) ↔ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)))
7		nnre 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		nnre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
11		1red 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	resubcld 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
15		eluzelre 12868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1))
20		ceilm1lt 13877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
23	9, 14, 18, 19, 22	lelttrd 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 < (𝑁 / 2))
24	23	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → 𝐾 < (𝑁 / 2)))
25		2re 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℝ)
27		2pos 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 < 2)
29		ltmul2 12061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
30	8, 17, 26, 28, 29	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
31		eluzelcn 12869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divcan2d 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
37	36	breq2d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
38	37	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
39	30, 38	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
40	24, 39	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
41	6, 40	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
42	41	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
43	42	com34 92	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
44	43	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
45	1, 44	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
46	45	impcom 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13678  ⌈cceil 13820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-ceil 13822

This theorem is referenced by:  modmknepk  48105