Theorem 2tceilhalfelfzo1 48224

Description: Two times a positive integer less than (the ceiling of) half of another integer is less than the other integer. This theorem would hold even for integers less than 3, but then a corresponding 𝐾 would not exist. (Contributed by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2tceilhalfelfzo1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

Proof of Theorem 2tceilhalfelfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo1 13768	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
2		nnz 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnz 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
6	3, 5	zltlem1d 12672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) ↔ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)))
7		nnre 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		nnre 12264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
11		1red 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) ∈ ℝ)
15		eluzelre 12898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1))
20		ceilm1lt 13909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) < (𝑁 / 2))
23	9, 14, 18, 19, 22	lelttrd 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1)) → 𝐾 < (𝑁 / 2))
24	23	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → 𝐾 < (𝑁 / 2)))
25		2re 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℝ)
27		2pos 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 < 2)
29		ltmul2 12090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
30	8, 17, 26, 28, 29	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) ↔ (2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2))))
31		eluzelcn 12899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divcan2d 12017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
37	36	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
38	37	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 𝐾) < (2 · (𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
39	30, 38	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (𝑁 / 2) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
40	24, 39	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 ≤ ((⌈‘(𝑁 / 2)) − 1) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
41	6, 40	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
42	41	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
43	42	com34 92	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))))
44	43	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
45	1, 44	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐾) < 𝑁))
46	45	impcom 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ..^cfzo 13709  ⌈cceil 13852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-ceil 13854

This theorem is used by:  modmknepk  48256