Theorem chnsubseqword 47652

Description: A subsequence of a chain is a word. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqword	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem chnsubseqword

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5		dfclel 2841	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
7		exancom 1894	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
8	6, 7	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
9		df-rex 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼))
11		chnsubseq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
13	12	chnwrd 18686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
14		wrdf 14573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
16	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdf 14573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
19	15, 18	fcod 6735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴)
20		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑥 = (♯‘𝐼))
21	20	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (0..^𝑥) = (0..^(♯‘𝐼)))
22	21	feq2d 6693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → ((𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴 ↔ (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
25	24	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)))
26	25	reximdvai 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
27	10, 26	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
28		iswrd 14570	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
29	27, 28	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115   < clt 11258  ℕ₀cn0 12519  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Word cword 14568   Chain cchn 18683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-chn 18684

This theorem is used by:  chnsubseqwl  47653  chnsubseq  47654