Theorem chnsubseqword 47236

Description: A subsequence of a chain is a word. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqword	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem chnsubseqword

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18543	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5		dfclel 2813	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
7		exancom 1863	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
9		df-rex 3063	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼))
11		chnsubseq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
13	12	chnwrd 18543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
14		wrdf 14453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
16	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdf 14453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
19	15, 18	fcod 6695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑥 = (♯‘𝐼))
21	20	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (0..^𝑥) = (0..^(♯‘𝐼)))
22	21	feq2d 6654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → ((𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴 ↔ (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
25	24	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)))
26	25	reximdvai 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
27	10, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
28		iswrd 14450	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
29	27, 28	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038   < clt 11178  ℕ₀cn0 12413  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   Chain cchn 18540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-chn 18541

This theorem is referenced by:  chnsubseqwl  47237  chnsubseq  47238