Theorem chnsubseqword 47594

Description: A subsequence of a chain is a word. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqword	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem chnsubseqword

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5		dfclel 2839	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
7		exancom 1891	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
8	6, 7	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
9		df-rex 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼))
11		chnsubseq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
13	12	chnwrd 18659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
14		wrdf 14551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
16	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdf 14551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
19	15, 18	fcod 6731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴)
20		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑥 = (♯‘𝐼))
21	20	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (0..^𝑥) = (0..^(♯‘𝐼)))
22	21	feq2d 6689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → ((𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴 ↔ (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
24	23	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
25	24	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)))
26	25	reximdvai 3176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
27	10, 26	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
28		iswrd 14548	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
29	27, 28	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095   < clt 11238  ℕ₀cn0 12499  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546   Chain cchn 18656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-chn 18657

This theorem is referenced by:  chnsubseqwl  47595  chnsubseq  47596