Theorem chnsubseqword 47485

Description: A subsequence of a chain is a word. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqword	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem chnsubseqword

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14569	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5		dfclel 2845	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
7		exancom 1888	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
8	6, 7	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
9		df-rex 3096	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼))
11		chnsubseq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
13	12	chnwrd 18663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
14		wrdf 14554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
16	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdf 14554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
19	15, 18	fcod 6732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴)
20		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑥 = (♯‘𝐼))
21	20	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (0..^𝑥) = (0..^(♯‘𝐼)))
22	21	feq2d 6690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → ((𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴 ↔ (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
24	23	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
25	24	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)))
26	25	reximdvai 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
27	10, 26	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
28		iswrd 14551	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
29	27, 28	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099   < clt 11242  ℕ₀cn0 12503  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365  Word cword 14549   Chain cchn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-chn 18661

This theorem is referenced by:  chnsubseqwl  47486  chnsubseq  47487