Theorem chnsubseqword 47323

Description: A subsequence of a chain is a word. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqword	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem chnsubseqword

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14486	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5		dfclel 2815	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
6	4, 5	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
7		exancom 1868	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (♯‘𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
8	6, 7	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
9		df-rex 3064	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)))
10	8, 9	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼))
11		chnsubseq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
13	12	chnwrd 18565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
14		wrdf 14471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
16	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
17		wrdf 14471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
19	15, 18	fcod 6680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴)
20		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → 𝑥 = (♯‘𝐼))
21	20	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (0..^𝑥) = (0..^(♯‘𝐼)))
22	21	feq2d 6639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → ((𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴 ↔ (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^(♯‘𝐼))⟶𝐴))
23	19, 22	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (♯‘𝐼)) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
24	23	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
25	24	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 = (♯‘𝐼) → (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)))
26	25	reximdvai 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑥 = (♯‘𝐼) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴))
27	10, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
28		iswrd 14468	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 (𝑊 ∘ 𝐼):(0..^𝑥)⟶𝐴)
29	27, 28	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029   < clt 11170  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   Chain cchn 18562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-chn 18563

This theorem is referenced by:  chnsubseqwl  47324  chnsubseq  47325