Theorem chnsubseqwl 47123

Description: A subsequence of a chain has the same length as its indexing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqwl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem chnsubseqwl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		wrdf 14441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
5	4	frnd 6670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		chnsubseq.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
7	6	chnwrd 18531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
8		wrddm 14444	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
10	5, 9	sseqtrrd 3971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊)
11		dmcosseq 5927	. . . 4 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
13	6, 1	chnsubseqword 47122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)
14		wrddm 14444	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
16		wrddm 14444	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
17	2, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
18	12, 15, 17	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)))
19		0z 12499	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		lencl 14456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ)
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
24		fzoopth 13678	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
25	19, 22, 23, 24	mp3an2ani 1470	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
26		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
27	26	biantrur 530	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
28	25, 27	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
30	29	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^0) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
31		fzo0 13599	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
32	30, 31	eqtr3di 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = ∅)
33	32	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ ∅ = (0..^(♯‘𝐼))))
34		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (∅ = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅)
35	33, 34	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
36		0zd 12500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 ∈ ℤ)
37		lencl 14456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
38	2, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
41		fzon 13596	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
42	36, 40, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
43		nn0le0eq0 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
45	38, 44	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
46	45	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
47		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) = 0)
48		0le0 12246	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
49	47, 48	eqbrtrdi 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) ≤ 0)
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) = 0) → (♯‘𝐼) ≤ 0)
51	46, 50	impbida 800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
52		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼)))
54	29	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
55	51, 53, 54	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
56	35, 42, 55	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
57	21	nn0ge0d 12465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
58		0red 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	21	nn0red 12463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℝ)
60	58, 59	leloed 11276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ↔ (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))))
61	57, 60	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
62	28, 56, 61	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
63	18, 62	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436   Chain cchn 18528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-chn 18529

This theorem is referenced by:  chnsubseq  47124  chnsuslle  47125