Theorem chnsubseqwl 47888

Description: A subsequence of a chain has the same length as its indexing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqwl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem chnsubseqwl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		wrdf 14663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
5	4	frnd 6718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		chnsubseq.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
7	6	chnwrd 18782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
8		wrddm 14666	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
10	5, 9	sseqtrrd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊)
11		dmcosseq 5960	. . . 4 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
13	6, 1	chnsubseqword 47887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)
14		wrddm 14666	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
16		wrddm 14666	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
17	2, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
18	12, 15, 17	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)))
19		0z 12704	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		lencl 14678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ)
23		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
24		fzoopth 13897	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
25	19, 22, 23, 24	mp3an2ani 1497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
26		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
27	26	biantrur 540	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
28	25, 27	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
29		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
30	29	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^0) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
31		fzo0 13818	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
32	30, 31	eqtr3di 2811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = ∅)
33	32	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ ∅ = (0..^(♯‘𝐼))))
34		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (∅ = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅)
35	33, 34	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
36		0zd 12705	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 ∈ ℤ)
37		lencl 14678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
38	2, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
41		fzon 13815	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
42	36, 40, 41	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
43		nn0le0eq0 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
44	43	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
45	38, 44	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
46	45	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
47		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) = 0)
48		0le0 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
49	47, 48	eqbrtrdi 5144	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) ≤ 0)
50	49	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) = 0) → (♯‘𝐼) ≤ 0)
51	46, 50	impbida 813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
52		eqcom 2768	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼)))
54	29	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
55	51, 53, 54	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
56	35, 42, 55	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
57	21	nn0ge0d 12670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
58		0red 11311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	21	nn0red 12668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℝ)
60	58, 59	leloed 11453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ↔ (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))))
61	57, 60	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
62	28, 56, 61	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
63	18, 62	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658   Chain cchn 18779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-chn 18780

This theorem is used by:  chnsubseq  47889  chnsuslle  47890