Theorem chnsubseqwl 47237

Description: A subsequence of a chain has the same length as its indexing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqwl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem chnsubseqwl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18543	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		wrdf 14453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
5	4	frnd 6678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		chnsubseq.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
7	6	chnwrd 18543	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
8		wrddm 14456	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
10	5, 9	sseqtrrd 3973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊)
11		dmcosseq 5935	. . . 4 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
13	6, 1	chnsubseqword 47236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)
14		wrddm 14456	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
16		wrddm 14456	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
17	2, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
18	12, 15, 17	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)))
19		0z 12511	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		lencl 14468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ)
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
24		fzoopth 13690	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
25	19, 22, 23, 24	mp3an2ani 1471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
27	26	biantrur 530	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
28	25, 27	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
30	29	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^0) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
31		fzo0 13611	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
32	30, 31	eqtr3di 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = ∅)
33	32	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ ∅ = (0..^(♯‘𝐼))))
34		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (∅ = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅)
35	33, 34	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
36		0zd 12512	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 ∈ ℤ)
37		lencl 14468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
38	2, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
41		fzon 13608	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
42	36, 40, 41	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
43		nn0le0eq0 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
45	38, 44	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
46	45	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
47		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) = 0)
48		0le0 12258	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
49	47, 48	eqbrtrdi 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) ≤ 0)
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) = 0) → (♯‘𝐼) ≤ 0)
51	46, 50	impbida 801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
52		eqcom 2744	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼)))
54	29	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
55	51, 53, 54	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
56	35, 42, 55	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
57	21	nn0ge0d 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
58		0red 11147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	21	nn0red 12475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℝ)
60	58, 59	leloed 11288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ↔ (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))))
61	57, 60	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
62	28, 56, 61	mpjaodan 961	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
63	18, 62	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   Chain cchn 18540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-chn 18541

This theorem is referenced by:  chnsubseq  47238  chnsuslle  47239