Theorem chnsubseqwl 47486

Description: A subsequence of a chain has the same length as its indexing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqwl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem chnsubseqwl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		wrdf 14554	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
5	4	frnd 6715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		chnsubseq.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
7	6	chnwrd 18663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
8		wrddm 14557	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
10	5, 9	sseqtrrd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊)
11		dmcosseq 5969	. . . 4 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
13	6, 1	chnsubseqword 47485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)
14		wrddm 14557	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
16		wrddm 14557	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
17	2, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
18	12, 15, 17	3eqtr3d 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)))
19		0z 12601	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		lencl 14569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ)
23		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
24		fzoopth 13790	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
25	19, 22, 23, 24	mp3an2ani 1494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
26		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
27	26	biantrur 539	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
28	25, 27	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
29		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
30	29	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^0) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
31		fzo0 13711	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
32	30, 31	eqtr3di 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = ∅)
33	32	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ ∅ = (0..^(♯‘𝐼))))
34		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ (∅ = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅)
35	33, 34	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
36		0zd 12602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 ∈ ℤ)
37		lencl 14569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
38	2, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
40	39	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
41		fzon 13708	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
42	36, 40, 41	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
43		nn0le0eq0 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
44	43	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
45	38, 44	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
46	45	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
47		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) = 0)
48		0le0 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
49	47, 48	eqbrtrdi 5154	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) ≤ 0)
50	49	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) = 0) → (♯‘𝐼) ≤ 0)
51	46, 50	impbida 812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
52		eqcom 2776	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼)))
54	29	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
55	51, 53, 54	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
56	35, 42, 55	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
57	21	nn0ge0d 12567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
58		0red 11210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	21	nn0red 12565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℝ)
60	58, 59	leloed 11352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ↔ (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))))
61	57, 60	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
62	28, 56, 61	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
63	18, 62	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ran crn 5663   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365  Word cword 14549   Chain cchn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-chn 18661

This theorem is referenced by:  chnsubseq  47487  chnsuslle  47488