Theorem chnsubseqwl 47708

Description: A subsequence of a chain has the same length as its indexing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnsubseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnsubseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))

Assertion

Ref	Expression
chnsubseqwl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

Proof of Theorem chnsubseqwl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnsubseq.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ( < Chain (0..^(♯‘𝑊))))
2	1	chnwrd 18697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)))
3		wrdf 14584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
5	4	frnd 6712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		chnsubseq.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ( < Chain 𝐴))
7	6	chnwrd 18697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
8		wrddm 14587	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
10	5, 9	sseqtrrd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊)
11		dmcosseq 5962	. . . 4 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ dom 𝑊 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = dom 𝐼)
13	6, 1	chnsubseqword 47707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴)
14		wrddm 14587	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 ∘ 𝐼) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
16		wrddm 14587	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
17	2, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
18	12, 15, 17	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)))
19		0z 12627	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		lencl 14599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐼) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ)
23		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
24		fzoopth 13819	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
25	19, 22, 23, 24	mp3an2ani 1497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))))
26		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
27	26	biantrur 540	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼) ↔ (0 = 0 ∧ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
28	25, 27	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
29		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
30	29	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^0) = (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
31		fzo0 13740	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
32	30, 31	eqtr3di 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = ∅)
33	32	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ ∅ = (0..^(♯‘𝐼))))
34		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ (∅ = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅)
35	33, 34	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
36		0zd 12628	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → 0 ∈ ℤ)
37		lencl 14599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
38	2, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
41		fzon 13737	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
42	36, 40, 41	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (0..^(♯‘𝐼)) = ∅))
43		nn0le0eq0 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
44	43	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
45	38, 44	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
46	45	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) ≤ 0) → (♯‘𝐼) = 0)
47		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) = 0)
48		0le0 12367	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
49	47, 48	eqbrtrdi 5144	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 → (♯‘𝐼) ≤ 0)
50	49	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) ∧ (♯‘𝐼) = 0) → (♯‘𝐼) ≤ 0)
51	46, 50	impbida 813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘𝐼) = 0))
52		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) = 0 ↔ 0 = (♯‘𝐼)))
54	29	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → (0 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
55	51, 53, 54	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((♯‘𝐼) ≤ 0 ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
56	35, 42, 55	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
57	21	nn0ge0d 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))
58		0red 11236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	21	nn0red 12591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∈ ℝ)
60	58, 59	leloed 11378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ↔ (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)))))
61	57, 60	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) ∨ 0 = (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))))
62	28, 56, 61	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝑊 ∘ 𝐼))) = (0..^(♯‘𝐼)) ↔ (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼)))
63	18, 62	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ∘ 𝐼)) = (♯‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ran crn 5656   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125   < clt 11268   ≤ cle 11269  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ..^cfzo 13710  ♯chash 14395  Word cword 14579   Chain cchn 18694

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-chn 18695

This theorem is used by:  chnsubseq  47709  chnsuslle  47710