Theorem qlaxr3i 30130

Description: A variation of the orthomodular law, showing C_ℋ is an orthomodular lattice. (This corresponds to axiom "ax-r3" in the Quantum Logic Explorer.) (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
qlaxr3.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
qlaxr3.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
qlaxr3.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
qlaxr3.4	⊢ (𝐶 ∨ℋ (⊥‘𝐶)) = ((⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
qlaxr3i	⊢ 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem qlaxr3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qlaxr3.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		qlaxr3.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 29951	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
4	3	chshii 29721	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
5	1, 2	chub1i 29963	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
6		incom 4145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
7	1	choccli 29801	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
8	2	choccli 29801	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
9	1, 2	cmj1i 30098	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
10	1, 3, 9	cmcmii 30091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) 𝐶ℋ 𝐴
11	3, 1, 10	cmcm2ii 30092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) 𝐶ℋ (⊥‘𝐴)
12	1, 2	cmj2i 30099	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 𝐶ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
13	2, 3, 12	cmcmii 30091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) 𝐶ℋ 𝐵
14	3, 2, 13	cmcm2ii 30092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) 𝐶ℋ (⊥‘𝐵)
15	3, 7, 8, 11, 14	fh1i 30115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵)))
16	6, 15	eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵)))
17		qlaxr3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
18	17	chjoi 29982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (⊥‘𝐶)) = ℋ
19		qlaxr3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (⊥‘𝐶)) = ((⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
20	18, 19	eqtr3i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = ((⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
21		choc0 29820	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
22	7, 8	chjcli 29951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
23	22, 3	chdmm1i 29971	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘(((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
24	20, 21, 23	3eqtr4i 2774	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘0ℋ) = (⊥‘(((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
25	22, 3	chincli 29954	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
26		h0elch 29749	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
27	25, 26	chcon3i 29960	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ ↔ (⊥‘0ℋ) = (⊥‘(((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
28	24, 27	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ
29	16, 28	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵))) = 0ℋ
30	3, 7	chincli 29954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ
31	3, 8	chincli 29954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
32	30, 31	chj00i 29981	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵)) = 0ℋ) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵))) = 0ℋ)
33	29, 32	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵)) = 0ℋ)
34	33	simpli 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
35	1, 4, 5, 34	omlsii 29897	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
36	2, 1	chub2i 29964	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
37	33	simpri 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐵)) = 0ℋ
38	2, 4, 36, 37	omlsii 29897	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
39	35, 38	eqtr4i 2767	1 ⊢ 𝐴 = 𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3895  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316   ℋchba 29413   C_ℋ cch 29423  ⊥cort 29424   ∨_ℋ chj 29427  0_ℋc0h 29429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cc 10270  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030  ax-hilex 29493  ax-hfvadd 29494  ax-hvcom 29495  ax-hvass 29496  ax-hv0cl 29497  ax-hvaddid 29498  ax-hfvmul 29499  ax-hvmulid 29500  ax-hvmulass 29501  ax-hvdistr1 29502  ax-hvdistr2 29503  ax-hvmul0 29504  ax-hfi 29573  ax-his1 29576  ax-his2 29577  ax-his3 29578  ax-his4 29579  ax-hcompl 29696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-oadd 8349  df-omul 8350  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-acn 9777  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-seq 13801  df-exp 13862  df-hash 14124  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-rest 17207  df-topn 17208  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-topgen 17228  df-pt 17229  df-prds 17232  df-xrs 17287  df-qtop 17292  df-imas 17293  df-xps 17295  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-mulg 18774  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-cn 22458  df-cnp 22459  df-lm 22460  df-haus 22546  df-tx 22793  df-hmeo 22986  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-xms 23553  df-ms 23554  df-tms 23555  df-cfil 24499  df-cau 24500  df-cmet 24501  df-grpo 28987  df-gid 28988  df-ginv 28989  df-gdiv 28990  df-ablo 29039  df-vc 29053  df-nv 29086  df-va 29089  df-ba 29090  df-sm 29091  df-0v 29092  df-vs 29093  df-nmcv 29094  df-ims 29095  df-dip 29195  df-ssp 29216  df-ph 29307  df-cbn 29357  df-hnorm 29462  df-hba 29463  df-hvsub 29465  df-hlim 29466  df-hcau 29467  df-sh 29701  df-ch 29715  df-oc 29746  df-ch0 29747  df-shs 29802  df-chj 29804  df-cm 30077

This theorem is referenced by: (None)