Theorem recval 15248

Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
recval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem recval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 15030	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcomd 11155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5		absvalsq 15205	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	4, 6	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2))
8		abscl 15203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12		cjne0 15088	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
13	12	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ≠ 0)
14	11, 2, 3, 13	divmuld 11940	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2)))
15	7, 14	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴)
16	15	oveq2d 7369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = (1 / 𝐴))
17		abs00 15214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18	17	necon3bid 2969	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
19	18	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
20		sqne0 14048	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
21	10, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
22	19, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0)
23	11, 2, 22, 13	recdivd 11935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))
24	16, 23	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   / cdiv 11795  2c2 12201  ↑cexp 13986  ∗ccj 15021  abscabs 15159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161

This theorem is referenced by:  tanregt0  26464  root1cj  26682  lawcoslem1  26741  asinlem3  26797  sum2dchr  27201