Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climreclf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climreclf 45190
Description: The limit of a convergent real sequence is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climreclf.k 𝑘𝜑
climreclf.f 𝑘𝐹
climreclf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climreclf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climreclf.a (𝜑𝐹𝐴)
climreclf.r ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
climreclf (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climreclf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climreclf.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climreclf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climreclf.a . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climreclf.k . . . . 5 𝑘𝜑
5 nfv 1909 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1894 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 climreclf.f . . . . . 6 𝑘𝐹
8 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑘𝑗
97, 8nffv 6906 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
10 nfcv 2891 . . . . 5 𝑘
119, 10nfel 2906 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℝ
126, 11nfim 1891 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
13 eleq1w 2808 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1413anbi2d 628 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
15 fveq2 6896 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1615eleq1d 2810 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 343 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
18 climreclf.r . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvarfv 2228 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
201, 2, 3, 19climrecl 15563 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2875   class class class wbr 5149  cfv 6549  cr 11139  cz 12591  cuz 12855  cli 15464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469
This theorem is referenced by:  climleltrp  45202  climreclmpt  45210
  Copyright terms: Public domain W3C validator