Theorem climreclf 45575

Description: The limit of a convergent real sequence is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climreclf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climreclf.f	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climreclf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climreclf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climreclf.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climreclf.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climreclf	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climreclf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climreclf.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climreclf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climreclf.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climreclf.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climreclf.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
9	7, 8	nffv 6925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
10		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
11	9, 10	nfel 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ
12	6, 11	nfim 1895	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
13		eleq1w 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
14	13	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
15		fveq2 6915	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
16	15	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
17	14, 16	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
18		climreclf.r	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19	12, 17, 18	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
20	1, 2, 3, 19	climrecl 15623	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893   class class class wbr 5166  ‘cfv 6568  ℝcr 11177  ℤcz 12633  ℤ_≥cuz 12897   ⇝ cli 15524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-er 8757  df-pm 8881  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-sup 9505  df-inf 9506  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-n0 12548  df-z 12634  df-uz 12898  df-rp 13052  df-fl 13837  df-seq 14047  df-exp 14107  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144  df-sqrt 15278  df-abs 15279  df-clim 15528  df-rlim 15529

This theorem is referenced by:  climleltrp  45587  climreclmpt  45595