Theorem clwwlknccat 30636

Description: The concatenation of two words representing closed walks anchored at the same vertex represents a closed walk with a length which is the sum of the lengths of the two walks. The resulting walk is a "double loop", starting at the common vertex, coming back to the common vertex by the first walk, following the second walk and finally coming back to the common vertex again. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknccat	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlkn 30600	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑀))
2		isclwwlkn 30600	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐵) = 𝑁))
3		biid 264	. . 3 ⊢ ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
4		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑀) → 𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
6		id 23	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
7		clwwlkccat 30563	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1178	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑀) ∧ (𝐵 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐵) = 𝑁) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9	1, 2, 3, 8	syl3anb 1179	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11	10	clwwlknwrd 30607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12	10	clwwlknwrd 30607	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
13		ccatlen 14700	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15		clwwlknlen 30605	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐴) = 𝑀)
16		clwwlknlen 30605	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
17	15, 16	oveqan12d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
18	14, 17	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
19	18	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
20		isclwwlkn 30600	. 2 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝑀 + 𝑁)))
21	9, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181   + caddc 11184  ♯chash 14454  Word cword 14638   ++ cconcat 14695  Vtxcvtx 29556  ClWWalkscclwwlk 30554   ClWWalksN cclwwlkn 30597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-lsw 14688  df-concat 14696  df-clwwlk 30555  df-clwwlkn 30598

This theorem is used by:  clwwlknonccat  30669