MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknonccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknonccat 29893
Description: The concatenation of two words representing closed walks on a vertex 𝑋 represents a closed walk on vertex 𝑋. The resulting walk is a "double loop", starting at vertex 𝑋, coming back to 𝑋 by the first walk, following the second walk and finally coming back to 𝑋 again. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonccat ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑀) ∧ 𝐡 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem clwwlknonccat
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
21adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
3 simpl 482 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
43adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) β†’ (π΄β€˜0) = 𝑋)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ (π΄β€˜0) = 𝑋)
7 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋) β†’ (π΅β€˜0) = 𝑋)
87eqcomd 2733 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋) β†’ 𝑋 = (π΅β€˜0))
98adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ 𝑋 = (π΅β€˜0))
106, 9eqtrd 2767 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
11 clwwlknccat 29860 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
122, 4, 10, 11syl3anc 1369 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
13 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
1413clwwlknwrd 29831 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝐴 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1713clwwlknwrd 29831 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝐡 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1918adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
20 clwwlknnn 29830 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21 clwwlknlen 29829 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) β†’ (β™―β€˜π΄) = 𝑀)
22 nngt0 12265 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑀)
23 breq2 5146 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) = 𝑀 β†’ (0 < (β™―β€˜π΄) ↔ 0 < 𝑀))
2422, 23syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π΄) = 𝑀 β†’ 0 < (β™―β€˜π΄)))
2520, 21, 24sylc 65 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) β†’ 0 < (β™―β€˜π΄))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) β†’ 0 < (β™―β€˜π΄))
2726adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ 0 < (β™―β€˜π΄))
28 ccatfv0 14557 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 0 < (β™―β€˜π΄)) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡)β€˜0) = (π΄β€˜0))
2916, 19, 27, 28syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡)β€˜0) = (π΄β€˜0))
3029, 6eqtrd 2767 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡)β€˜0) = 𝑋)
3112, 30jca 511 . 2 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐡)β€˜0) = 𝑋))
32 isclwwlknon 29888 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋))
33 isclwwlknon 29888 . . 3 (𝐡 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋))
3432, 33anbi12i 626 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑀) ∧ 𝐡 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΄β€˜0) = 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π΅β€˜0) = 𝑋)))
35 isclwwlknon 29888 . 2 ((𝐴 ++ 𝐡) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝐴 ++ 𝐡) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐡)β€˜0) = 𝑋))
3631, 34, 353imtr4i 292 1 ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑀) ∧ 𝐡 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑀 + 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130   + caddc 11133   < clt 11270  β„•cn 12234  β™―chash 14313  Word cword 14488   ++ cconcat 14544  Vtxcvtx 28796   ClWWalksN cclwwlkn 29821  ClWWalksNOncclwwlknon 29884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-clwwlk 29779  df-clwwlkn 29822  df-clwwlknon 29885
This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlk  30147
  Copyright terms: Public domain W3C validator