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Theorem clwwlknonccat 28596
Description: The concatenation of two words representing closed walks on a vertex 𝑋 represents a closed walk on vertex 𝑋. The resulting walk is a "double loop", starting at vertex 𝑋, coming back to 𝑋 by the first walk, following the second walk and finally coming back to 𝑋 again. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonccat ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem clwwlknonccat
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
21adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
3 simpl 483 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
43adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
5 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → (𝐴‘0) = 𝑋)
65adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = 𝑋)
7 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → (𝐵‘0) = 𝑋)
87eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝐵‘0))
98adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝐵‘0))
106, 9eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
11 clwwlknccat 28563 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
122, 4, 10, 11syl3anc 1370 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1413clwwlknwrd 28534 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1615adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1713clwwlknwrd 28534 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1918adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
20 clwwlknnn 28533 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝑀 ∈ ℕ)
21 clwwlknlen 28532 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐴) = 𝑀)
22 nngt0 12084 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
23 breq2 5091 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 𝑀 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < 𝑀))
2422, 23syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) = 𝑀 → 0 < (♯‘𝐴)))
2520, 21, 24sylc 65 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 0 < (♯‘𝐴))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝐴))
2726adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 0 < (♯‘𝐴))
28 ccatfv0 14367 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
2916, 19, 27, 28syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
3029, 6eqtrd 2777 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋)
3112, 30jca 512 . 2 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
32 isclwwlknon 28591 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋))
33 isclwwlknon 28591 . . 3 (𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋))
3432, 33anbi12i 627 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)))
35 isclwwlknon 28591 . 2 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
3631, 34, 353imtr4i 291 1 ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5087  cfv 6466  (class class class)co 7317  0cc0 10951   + caddc 10954   < clt 11089  cn 12053  chash 14124  Word cword 14296   ++ cconcat 14352  Vtxcvtx 27502   ClWWalksN cclwwlkn 28524  ClWWalksNOncclwwlknon 28587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-oadd 8350  df-er 8548  df-map 8667  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-n0 12314  df-xnn0 12386  df-z 12400  df-uz 12663  df-rp 12811  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-hash 14125  df-word 14297  df-lsw 14345  df-concat 14353  df-clwwlk 28482  df-clwwlkn 28525  df-clwwlknon 28588
This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlk  28850
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