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Theorem clwwlknonccat 27469
Description: The concatenation of two words representing closed walks on a vertex 𝑋 represents a closed walk on vertex 𝑋. The resulting walk is a "double loop", starting at vertex 𝑋, coming back to 𝑋 by the first walk, following the second walk and finally coming back to 𝑋 again. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonccat ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem clwwlknonccat
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
21adantr 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺))
3 simpl 476 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
43adantl 475 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
5 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → (𝐴‘0) = 𝑋)
65adantr 474 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = 𝑋)
7 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → (𝐵‘0) = 𝑋)
87eqcomd 2830 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝐵‘0))
98adantl 475 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝐵‘0))
106, 9eqtrd 2860 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
11 clwwlknccat 27415 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
122, 4, 10, 11syl3anc 1496 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺))
13 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1413clwwlknwrd 27376 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1514adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1615adantr 474 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1713clwwlknwrd 27376 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1817adantr 474 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1918adantl 475 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
20 clwwlknnn 27375 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 𝑀 ∈ ℕ)
21 clwwlknlen 27374 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝐴) = 𝑀)
22 nngt0 11382 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
23 breq2 4876 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 𝑀 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < 𝑀))
2422, 23syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) = 𝑀 → 0 < (♯‘𝐴)))
2520, 21, 24sylc 65 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) → 0 < (♯‘𝐴))
2625adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝐴))
2726adantr 474 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → 0 < (♯‘𝐴))
28 ccatfv0 13642 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
2916, 19, 27, 28syl3anc 1496 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = (𝐴‘0))
3029, 6eqtrd 2860 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋)
3112, 30jca 509 . 2 (((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
32 isclwwlknon 27462 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋))
33 isclwwlknon 27462 . . 3 (𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋))
3432, 33anbi12i 622 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑀 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐴‘0) = 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐵‘0) = 𝑋)))
35 isclwwlknon 27462 . 2 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ ((𝑀 + 𝑁) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘0) = 𝑋))
3631, 34, 353imtr4i 284 1 ((𝐴 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑀 + 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4872  cfv 6122  (class class class)co 6904  0cc0 10251   + caddc 10254   < clt 10390  cn 11349  chash 13409  Word cword 13573   ++ cconcat 13629  Vtxcvtx 26293   ClWWalksN cclwwlkn 27361  ClWWalksNOncclwwlknon 27457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-hash 13410  df-word 13574  df-lsw 13622  df-concat 13630  df-clwwlk 27310  df-clwwlkn 27363  df-clwwlknon 27458
This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlk  27733  2clwwlk2clwwlkOLD  27734
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