MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknp 29875
Description: Properties of a set being a closed walk (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwwlknx.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
isclwwlknx.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknp (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,π‘Š   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknp
StepHypRef Expression
1 isclwwlknx.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21clwwlknbp 29873 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3 simpr 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
4 clwwlknnn 29871 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 isclwwlknx.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
61, 5isclwwlknx 29874 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
7 3simpc 1147 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
87adantr 479 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
96, 8biimtrdi 252 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
104, 9mpcom 38 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
1110adantr 479 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
12 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
1312oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
1413raleqdv 3323 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1514anbi1d 629 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
1615ad2antll 727 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
1711, 16mpbid 231 . . . 4 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
183, 17jca 510 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
192, 18mpdan 685 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
20 3anass 1092 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
2119, 20sylibr 233 1 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {cpr 4634  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  ..^cfzo 13669  β™―chash 14331  Word cword 14506  lastSclsw 14554  Vtxcvtx 28837  Edgcedg 28888   ClWWalksN cclwwlkn 29862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-clwwlk 29820  df-clwwlkn 29863
This theorem is referenced by:  clwwlknlbonbgr1  29877  clwwlkfo  29888  clwwlknwwlkncl  29891  wwlksubclwwlk  29896  umgr2cwwk2dif  29902  clwwlknun  29950  2clwwlk2clwwlklem  30184
  Copyright terms: Public domain W3C validator