MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknp 27426
Description: Properties of a set being a closed walk (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwwlknx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwwlknx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknp (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknp
StepHypRef Expression
1 isclwwlknx.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21clwwlknbp 27424 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
3 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4 clwwlknnn 27422 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 isclwwlknx.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 5isclwwlknx 27425 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
7 3simpc 1143 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
87adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
96, 8syl6bi 245 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
104, 9mpcom 38 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
1110adantr 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
12 oveq1 6929 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 − 1))
1312oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
1413raleqdv 3339 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1514anbi1d 623 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1615ad2antll 719 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1711, 16mpbid 224 . . . 4 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
183, 17jca 507 . . 3 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
192, 18mpdan 677 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
20 3anass 1079 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
2119, 20sylibr 226 1 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  {cpr 4399  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  cmin 10606  cn 11374  ..^cfzo 12784  chash 13435  Word cword 13599  lastSclsw 13652  Vtxcvtx 26344  Edgcedg 26395   ClWWalksN cclwwlkn 27413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-clwwlk 27362  df-clwwlkn 27414
This theorem is referenced by:  clwwlknlbonbgr1  27428  clwwlkfoOLD  27441  clwwlkfo  27446  clwwlknwwlkncl  27450  wwlksubclwwlk  27455  wwlksubclwwlkOLD  27456  umgr2cwwk2dif  27462  clwwlknun  27514  2clwwlk2clwwlklem  27757
  Copyright terms: Public domain W3C validator