Theorem clwwlknp 30107

Description: Properties of a set being a closed walk (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwwlknx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwwlknx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknp	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlknbp 30105	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4		clwwlknnn 30103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		isclwwlknx.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	isclwwlknx 30106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
7		3simpc 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
9	6, 8	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
10	4, 9	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
12		oveq1 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 − 1))
13	12	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
14	13	raleqdv 3295	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
15	14	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
16	15	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
17	11, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
18	3, 17	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
19	2, 18	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
20		3anass 1095	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
21	19, 20	sylibr 234	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {cpr 4569  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℕcn 12174  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  lastSclsw 14524  Vtxcvtx 29065  Edgcedg 29116   ClWWalksN cclwwlkn 30094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-clwwlk 30052  df-clwwlkn 30095

This theorem is referenced by:  clwwlknlbonbgr1  30109  clwwlkfo  30120  clwwlknwwlkncl  30123  wwlksubclwwlk  30128  umgr2cwwk2dif  30134  clwwlknun  30182  2clwwlk2clwwlklem  30416