MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknp 29799
Description: Properties of a set being a closed walk (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwwlknx.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
isclwwlknx.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknp (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,π‘Š   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknp
StepHypRef Expression
1 isclwwlknx.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21clwwlknbp 29797 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
3 simpr 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
4 clwwlknnn 29795 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 isclwwlknx.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
61, 5isclwwlknx 29798 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
7 3simpc 1147 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
87adantr 480 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
96, 8syl6bi 253 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
104, 9mpcom 38 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
1110adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
12 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
1312oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
1413raleqdv 3319 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1514anbi1d 629 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
1615ad2antll 726 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
1711, 16mpbid 231 . . . 4 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
183, 17jca 511 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
192, 18mpdan 684 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
20 3anass 1092 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
2119, 20sylibr 233 1 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470  lastSclsw 14518  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815   ClWWalksN cclwwlkn 29786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-clwwlk 29744  df-clwwlkn 29787
This theorem is referenced by:  clwwlknlbonbgr1  29801  clwwlkfo  29812  clwwlknwwlkncl  29815  wwlksubclwwlk  29820  umgr2cwwk2dif  29826  clwwlknun  29874  2clwwlk2clwwlklem  30108
  Copyright terms: Public domain W3C validator