Theorem erclwwlknref 30144

Description: ∼ is a reflexive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlknref	⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem erclwwlknref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
2		anidm 564	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ↔ 𝑥 ∈ 𝑊)
3	2	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
4	1, 3	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
5		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
6		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
7	5, 6	erclwwlkneq 30142	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
8	7	el2v 3447	. 2 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 30109	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		clwwlknnn 30108	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		cshw0 14717	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑥 cyclShift 0) = 𝑥)
13		nnnn0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		0elfz 13540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑁))
16		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
17	16	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
18		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 cyclShift 𝑛) = (𝑥 cyclShift 0))
19	18	rspceeqv 3599	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
20	15, 17, 19	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
21	20	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
22	12, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
23	10, 11, 22	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
24	23, 5	eleq2s 2854	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
25	24	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
26	4, 8, 25	3bitr4ri 304	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  {copab 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423  Word cword 14436   cyclShift ccsh 14711  Vtxcvtx 29069   ClWWalksN cclwwlkn 30099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-csh 14712  df-clwwlk 30057  df-clwwlkn 30100

This theorem is referenced by:  erclwwlkn  30147