Theorem erclwwlknref 30217

Description: ∼ is a reflexive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlknref	⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem erclwwlknref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1099	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
2		anidm 572	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ↔ 𝑥 ∈ 𝑊)
3	2	anbi1i 633	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
4	1, 3	bitri 277	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
5		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
6		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
7	5, 6	erclwwlkneq 30215	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
8	7	el2v 3460	. 2 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 30182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		clwwlknnn 30181	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		cshw0 14804	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑥 cyclShift 0) = 𝑥)
13		nnnn0 12485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		0elfz 13626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑁))
16		eqcom 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
17	16	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
18		oveq2 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 cyclShift 𝑛) = (𝑥 cyclShift 0))
19	18	rspceeqv 3604	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
20	15, 17, 19	syl2anr 606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
21	20	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
22	12, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
23	10, 11, 22	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
24	23, 5	eleq2s 2879	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
25	24	pm4.71i 567	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
26	4, 8, 25	3bitr4ri 306	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   class class class wbr 5099  {copab 5161  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ...cfz 13509  Word cword 14523   cyclShift ccsh 14798  Vtxcvtx 29143   ClWWalksN cclwwlkn 30172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-csh 14799  df-clwwlk 30130  df-clwwlkn 30173

This theorem is referenced by:  erclwwlkn  30220