Theorem erclwwlknref 30457

Description: ∼ is a reflexive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlknref	⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥, 𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝑊(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem erclwwlknref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
2		anidm 575	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ↔ 𝑥 ∈ 𝑊)
3	2	anbi1i 636	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
4	1, 3	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
5		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
6		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
7	5, 6	erclwwlkneq 30455	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
8	7	el2v 3465	. 2 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
9		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 30422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		clwwlknnn 30421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		cshw0 14857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑥 cyclShift 0) = 𝑥)
13		nnnn0 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		0elfz 13671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑁))
16		eqcom 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
17	16	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
18		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 cyclShift 𝑛) = (𝑥 cyclShift 0))
19	18	rspceeqv 3607	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
20	15, 17, 19	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
21	20	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
22	12, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
23	10, 11, 22	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
24	23, 5	eleq2s 2884	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
25	24	pm4.71i 569	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
26	4, 8, 25	3bitr4ri 307	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   class class class wbr 5114  {copab 5178  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  Word cword 14570   cyclShift ccsh 14851  Vtxcvtx 29383   ClWWalksN cclwwlkn 30412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-csh 14852  df-clwwlk 30370  df-clwwlkn 30413

This theorem is used by:  erclwwlkn  30460