Theorem erclwwlknref 30156

Description: ∼ is a reflexive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlknref	⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem erclwwlknref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
2		anidm 564	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ↔ 𝑥 ∈ 𝑊)
3	2	anbi1i 625	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
4	1, 3	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
5		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
6		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
7	5, 6	erclwwlkneq 30154	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
8	7	el2v 3449	. 2 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 30121	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		clwwlknnn 30120	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		cshw0 14729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑥 cyclShift 0) = 𝑥)
13		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		0elfz 13552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑁))
16		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
17	16	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
18		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 cyclShift 𝑛) = (𝑥 cyclShift 0))
19	18	rspceeqv 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
20	15, 17, 19	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
21	20	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
22	12, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
23	10, 11, 22	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
24	23, 5	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
25	24	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
26	4, 8, 25	3bitr4ri 304	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  {copab 5162  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  Word cword 14448   cyclShift ccsh 14723  Vtxcvtx 29081   ClWWalksN cclwwlkn 30111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-csh 14724  df-clwwlk 30069  df-clwwlkn 30112

This theorem is referenced by:  erclwwlkn  30159