Theorem erclwwlknref 27953

Description: ∼ is a reflexive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
erclwwlknref	⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem erclwwlknref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
2		anidm 568	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ↔ 𝑥 ∈ 𝑊)
3	2	anbi1i 626	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
4	1, 3	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
5		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
6		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
7	5, 6	erclwwlkneq 27951	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
8	7	el2v 3417	. 2 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
9		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 27918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		clwwlknnn 27917	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		cshw0 14203	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑥 cyclShift 0) = 𝑥)
13		nnnn0 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		0elfz 13053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑁))
16		eqcom 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
17	16	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0))
18		oveq2 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 cyclShift 𝑛) = (𝑥 cyclShift 0))
19	18	rspceeqv 3556	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑥 = (𝑥 cyclShift 0)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
20	15, 17, 19	syl2anr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
21	20	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 cyclShift 0) = 𝑥 → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
22	12, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
23	10, 11, 22	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
24	23, 5	eleq2s 2870	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛))
25	24	pm4.71i 563	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑥 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
26	4, 8, 25	3bitr4ri 307	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   class class class wbr 5032  {copab 5094  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  ℕcn 11674  ℕ₀cn0 11934  ...cfz 12939  Word cword 13913   cyclShift ccsh 14197  Vtxcvtx 26888   ClWWalksN cclwwlkn 27908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-hash 13741  df-word 13914  df-concat 13970  df-substr 14050  df-pfx 14080  df-csh 14198  df-clwwlk 27866  df-clwwlkn 27909

This theorem is referenced by:  erclwwlkn  27956