Theorem submbas 18551

Description: The base set of a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem submbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	submss 18546	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
3		submmnd.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17047	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  Basecbs 17010   ↾_s cress 17039  SubMndcsubmnd 18527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529

This theorem is referenced by:  subsubm  18553  resmhm2  18558  resmhm2b  18559  submmulg  18844  submcmn2  19536  cycsubmcmn  19585  gsumzsubmcl  19615  expmhm  20774  mhpvarcl  21445  mhpmulcl  21446  submtmd  23362  tsmssubm  23401  amgmlem  26246  submarchi  31727  mhphflem  40595  amgmwlem  46924