MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss 25859
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
itgss (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13580 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
2 iffalse 4557 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
32ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4 eldif 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴))
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
65adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
76oveq1d 7460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
8 ax-icn 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ∈ ℂ
9 ine0 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ≠ 0
10 expclz 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
118, 9, 10mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12 expne0i 14141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
138, 9, 12mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
1411, 13div0d 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
167, 15eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
1716fveq2d 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
18 re0 15197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘0) = 0
1917, 18eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
2019ifeq1d 4567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
21 ifid 4588 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
2220, 21eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
234, 22sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
243, 23eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2524expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
26 iftrue 4554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2725, 26pm2.61d2 181 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
28 iftrue 4554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3027, 29eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐵)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
3332sseld 4001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3433con3dimp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
3534, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
36 iffalse 4557 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3835, 37eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
3930, 38pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
40 ifan 4601 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
41 ifan 4601 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4239, 40, 413eqtr4g 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
4342mpteq2dv 5271 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
4443fveq2d 6923 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4544oveq2d 7461 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
461, 45sylan2 592 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
4746sumeq2dv 15746 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
48 eqid 2734 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
4948dfitg 25817 . 2 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5048dfitg 25817 . 2 𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5147, 49, 503eqtr4g 2799 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  cdif 3967  wss 3970  ifcif 4548   class class class wbr 5169  cmpt 5252  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  cr 11179  0cc0 11180  ici 11182   · cmul 11185  cle 11321   / cdiv 11943  3c3 12345  cz 12635  ...cfz 13563  cexp 14108  cre 15142  Σcsu 15730  2citg2 25663  citg 25665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sum 15731  df-itg 25670
This theorem is referenced by:  itgss2  25860  areacirc  37621
  Copyright terms: Public domain W3C validator