MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss 25754
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
itgss.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)
Assertion
Ref Expression
itgss (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ)
Distinct variable group:   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13534 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
32ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
4 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)
65adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)
76oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)) = (0 / (iโ†‘๐‘˜)))
8 ax-icn 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i โˆˆ โ„‚
9 ine0 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i โ‰  0
10 expclz 14082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
12 expne0i 14092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
138, 9, 12mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1411, 13div0d 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 / (iโ†‘๐‘˜)) = 0)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (0 / (iโ†‘๐‘˜)) = 0)
167, 15eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)) = 0)
1716fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜0))
18 re0 15132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„œโ€˜0) = 0
1917, 18eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = 0)
2019ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0, 0))
21 ifid 4569 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0, 0) = 0
2220, 21eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = 0)
234, 22sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = 0)
243, 23eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2524expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
26 iftrue 4535 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2725, 26pm2.61d2 181 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
28 iftrue 4535 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
3027, 29eqtr4d 2771 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
3332sseld 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
3433con3dimp 408 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
3534, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
36 iffalse 4538 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
3835, 37eqtr4d 2771 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
3930, 38pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
40 ifan 4582 . . . . . . . 8 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
41 ifan 4582 . . . . . . . 8 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
4239, 40, 413eqtr4g 2793 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
4342mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
4443fveq2d 6901 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
4544oveq2d 7436 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
461, 45sylan2 592 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
4746sumeq2dv 15682 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
48 eqid 2728 . . 3 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
4948dfitg 25712 . 2 โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
5048dfitg 25712 . 2 โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
5147, 49, 503eqtr4g 2793 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3944   โІ wss 3947  ifcif 4529   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  ici 11141   ยท cmul 11144   โ‰ค cle 11280   / cdiv 11902  3c3 12299  โ„คcz 12589  ...cfz 13517  โ†‘cexp 14059  โ„œcre 15077  ฮฃcsu 15665  โˆซ2citg2 25558  โˆซcitg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sum 15666  df-itg 25565
This theorem is referenced by:  itgss2  25755  areacirc  37186
  Copyright terms: Public domain W3C validator