MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss 25192
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)
itgss.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)
Assertion
Ref Expression
itgss (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ)
Distinct variable group:   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13448 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
32ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
4 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)
65adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)
76oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)) = (0 / (iโ†‘๐‘˜)))
8 ax-icn 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i โˆˆ โ„‚
9 ine0 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i โ‰  0
10 expclz 13997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
12 expne0i 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
138, 9, 12mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1411, 13div0d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 / (iโ†‘๐‘˜)) = 0)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (0 / (iโ†‘๐‘˜)) = 0)
167, 15eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)) = 0)
1716fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜0))
18 re0 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„œโ€˜0) = 0
1917, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = 0)
2019ifeq1d 4510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0, 0))
21 ifid 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0, 0) = 0
2220, 21eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = 0)
234, 22sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = 0)
243, 23eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2524expr 458 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
26 iftrue 4497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2725, 26pm2.61d2 181 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
28 iftrue 4497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2928adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
3027, 29eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)
3332sseld 3948 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
3433con3dimp 410 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
3534, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
36 iffalse 4500 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
3835, 37eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
3930, 38pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
40 ifan 4544 . . . . . . . 8 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
41 ifan 4544 . . . . . . . 8 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
4239, 40, 413eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
4342mpteq2dv 5212 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
4443fveq2d 6851 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
4544oveq2d 7378 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
461, 45sylan2 594 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
4746sumeq2dv 15595 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
48 eqid 2737 . . 3 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
4948dfitg 25150 . 2 โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
5048dfitg 25150 . 2 โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
5147, 49, 503eqtr4g 2802 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  3c3 12216  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  โ„œcre 14989  ฮฃcsu 15577  โˆซ2citg2 24996  โˆซcitg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sum 15578  df-itg 25003
This theorem is referenced by:  itgss2  25193  areacirc  36200
  Copyright terms: Public domain W3C validator