Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss 24425
 Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
itgss (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12905 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
2 iffalse 4434 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
32ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4 eldif 3891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴))
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
65adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
76oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
8 ax-icn 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ∈ ℂ
9 ine0 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ≠ 0
10 expclz 13453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
118, 9, 10mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12 expne0i 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
138, 9, 12mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
1411, 13div0d 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
167, 15eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
1716fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
18 re0 14506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘0) = 0
1917, 18eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
2019ifeq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
21 ifid 4464 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
2220, 21eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
234, 22sylan2br 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
243, 23eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2524expr 460 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
26 iftrue 4431 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2725, 26pm2.61d2 184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
28 iftrue 4431 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2928adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3027, 29eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐵)
3231adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
3332sseld 3914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3433con3dimp 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
3534, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
36 iffalse 4434 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3736adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3835, 37eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
3930, 38pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
40 ifan 4476 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
41 ifan 4476 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4239, 40, 413eqtr4g 2858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
4342mpteq2dv 5127 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
4443fveq2d 6650 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4544oveq2d 7152 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
461, 45sylan2 595 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
4746sumeq2dv 15055 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
48 eqid 2798 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
4948dfitg 24383 . 2 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5048dfitg 24383 . 2 𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5147, 49, 503eqtr4g 2858 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  ici 10531   · cmul 10534   ≤ cle 10668   / cdiv 11289  3c3 11684  ℤcz 11972  ...cfz 12888  ↑cexp 13428  ℜcre 14451  Σcsu 15037  ∫2citg2 24230  ∫citg 24232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sum 15038  df-itg 24237 This theorem is referenced by:  itgss2  24426  areacirc  35169
 Copyright terms: Public domain W3C validator