MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss 25867
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
itgss (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13584 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
2 iffalse 4557 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
32ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4 eldif 3986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴))
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
65adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
76oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
8 ax-icn 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ∈ ℂ
9 ine0 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ≠ 0
10 expclz 14135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
118, 9, 10mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12 expne0i 14145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
138, 9, 12mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
1411, 13div0d 12069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
167, 15eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
1716fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
18 re0 15201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘0) = 0
1917, 18eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
2019ifeq1d 4567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
21 ifid 4588 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
2220, 21eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
234, 22sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
243, 23eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2524expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
26 iftrue 4554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2725, 26pm2.61d2 181 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
28 iftrue 4554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3027, 29eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐵)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
3332sseld 4007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3433con3dimp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
3534, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
36 iffalse 4557 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3835, 37eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
3930, 38pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
40 ifan 4601 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
41 ifan 4601 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4239, 40, 413eqtr4g 2805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
4342mpteq2dv 5268 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
4443fveq2d 6924 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4544oveq2d 7464 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
461, 45sylan2 592 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
4746sumeq2dv 15750 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
48 eqid 2740 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
4948dfitg 25824 . 2 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5048dfitg 25824 . 2 𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5147, 49, 503eqtr4g 2805 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  cdif 3973  wss 3976  ifcif 4548   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  ici 11186   · cmul 11189  cle 11325   / cdiv 11947  3c3 12349  cz 12639  ...cfz 13567  cexp 14112  cre 15146  Σcsu 15734  2citg2 25670  citg 25672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sum 15735  df-itg 25677
This theorem is referenced by:  itgss2  25868  areacirc  37673
  Copyright terms: Public domain W3C validator