Theorem itgss 25176

Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
itgss	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13441	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
2		iffalse 4495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3	2	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4		eldif 3920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		itgss.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
6	5	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
7	6	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
8		ax-icn 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ∈ ℂ
9		ine0 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ≠ 0
10		expclz 13990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	mp3an12 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12		expne0i 14000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
13	8, 9, 12	mp3an12 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
14	11, 13	div0d 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
15	14	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
16	7, 15	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
17	16	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
18		re0 15037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℜ‘0) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
20	19	ifeq1d 4505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
21		ifid 4526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
22	20, 21	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
23	4, 22	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
24	3, 23	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
25	24	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
26		iftrue 4492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
27	25, 26	pm2.61d2 181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
28		iftrue 4492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
30	27, 29	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
31		itgss.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
33	32	sseld 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
34	33	con3dimp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
35	34, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
36		iffalse 4495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
38	35, 37	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
39	30, 38	pm2.61dan 811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
40		ifan 4539	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
41		ifan 4539	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
42	39, 40, 41	3eqtr4g 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
43	42	mpteq2dv 5207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
44	43	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
45	44	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
46	1, 45	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
47	46	sumeq2dv 15588	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
48		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
49	48	dfitg 25134	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
50	48	dfitg 25134	. 2 ⊢ ∫𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
51	47, 49, 50	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  ici 11053   · cmul 11056   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  3c3 12209  ℤcz 12499  ...cfz 13424  ↑cexp 13967  ℜcre 14982  Σcsu 15570  ∫₂citg2 24980  ∫citg 24982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sum 15571  df-itg 24987

This theorem is referenced by:  itgss2  25177  areacirc  36171