Theorem itgss 25740

Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
itgss	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13424	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
2		iffalse 4481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3	2	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4		eldif 3907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		itgss.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
6	5	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
7	6	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
8		ax-icn 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ∈ ℂ
9		ine0 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ≠ 0
10		expclz 13991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12		expne0i 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
13	8, 9, 12	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
14	11, 13	div0d 11896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
15	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
16	7, 15	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
17	16	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
18		re0 15059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℜ‘0) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
20	19	ifeq1d 4492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
21		ifid 4513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
22	20, 21	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
23	4, 22	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
24	3, 23	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
25	24	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
26		iftrue 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
27	25, 26	pm2.61d2 181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
28		iftrue 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
30	27, 29	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
31		itgss.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
33	32	sseld 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
34	33	con3dimp 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
35	34, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
36		iffalse 4481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
38	35, 37	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
39	30, 38	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
40		ifan 4526	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
41		ifan 4526	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
42	39, 40, 41	3eqtr4g 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
43	42	mpteq2dv 5183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
44	43	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
45	44	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
46	1, 45	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
47	46	sumeq2dv 15609	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
48		eqid 2731	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
49	48	dfitg 25697	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
50	48	dfitg 25697	. 2 ⊢ ∫𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
51	47, 49, 50	3eqtr4g 2791	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ifcif 4472   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  ici 11008   · cmul 11011   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  3c3 12181  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ↑cexp 13968  ℜcre 15004  Σcsu 15593  ∫₂citg2 25544  ∫citg 25546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sum 15594  df-itg 25551

This theorem is referenced by:  itgss2  25741  areacirc  37763