Theorem itgcl 24386

Description: The integral of an integrable function is a complex number. This is Metamath 100 proof #86. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmpt.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcl.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgcl	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 24372	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3		fzfid 13344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...3) ∈ Fin)
4		ax-icn 10598	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
5		elfznn0 13003	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		expcl 13450	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
8	4, 6, 7	sylancr 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9		elfzelz 12911	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
10		eqidd 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
11		eqidd 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12		itgcl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
13		itgmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14	10, 11, 12, 13	iblitg 24371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
15	9, 14	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
17	8, 16	mulcld 10663	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
18	3, 17	fsumcl 15092	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
19	2, 18	eqeltrid 2919	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  ici 10541   · cmul 10544   ≤ cle 10678   / cdiv 11299  3c3 11696  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  ℜcre 14458  Σcsu 15044  ∫₂citg2 24219  𝐿¹cibl 24220  ∫citg 24221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-ibl 24225  df-itg 24226

This theorem is referenced by:  itgneg  24406  itgaddlem2  24426  itgadd  24427  itgsub  24428  itgfsum  24429  itgmulc2lem2  24435  itgmulc2  24436  itgabs  24437  itgsplitioo  24440  ditgcl  24458  ditgswap  24459  ftc1lem1  24634  ftc1lem2  24635  ftc1a  24636  ftc1lem4  24638  ftc2  24643  itgparts  24646  itgsubstlem  24647  itgulm  24998  itgaddnclem2  34953  itgaddnc  34954  itgsubnc  34956  itgmulc2nclem2  34961  itgmulc2nc  34962  itgabsnc  34963  ftc1cnnclem  34967  ftc1anc  34977  ftc2nc  34978  itgpowd  39828  itgsinexplem1  42246  itgsinexp  42247  itgspltprt  42271  fourierdlem30  42429  fourierdlem47  42445  fourierdlem73  42471  fourierdlem83  42481  fourierdlem87  42485  fourierdlem95  42493  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem107  42505  fourierdlem112  42510  sqwvfoura  42520  etransclem23  42549