![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itgcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The integral of an integrable function is a complex number. This is Metamath 100 proof #86. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmpt.1 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
itgcl.2 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) |
Ref | Expression |
---|---|
itgcl | โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ โ โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2728 | . . 3 โข (โโ(๐ต / (iโ๐))) = (โโ(๐ต / (iโ๐))) | |
2 | 1 | dfitg 25712 | . 2 โข โซ๐ด๐ต d๐ฅ = ฮฃ๐ โ (0...3)((iโ๐) ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)))) |
3 | fzfid 13971 | . . 3 โข (๐ โ (0...3) โ Fin) | |
4 | ax-icn 11198 | . . . . 5 โข i โ โ | |
5 | elfznn0 13627 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0...3) โ ๐ โ โ0) | |
6 | 5 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (0...3)) โ ๐ โ โ0) |
7 | expcl 14077 | . . . . 5 โข ((i โ โ โง ๐ โ โ0) โ (iโ๐) โ โ) | |
8 | 4, 6, 7 | sylancr 586 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ (0...3)) โ (iโ๐) โ โ) |
9 | elfzelz 13534 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0...3) โ ๐ โ โค) | |
10 | eqidd 2729 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) | |
11 | eqidd 2729 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (โโ(๐ต / (iโ๐))) = (โโ(๐ต / (iโ๐)))) | |
12 | itgcl.2 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) | |
13 | itgmpt.1 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
14 | 10, 11, 12, 13 | iblitg 25711 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ โค) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ) |
15 | 9, 14 | sylan2 592 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ) |
16 | 15 | recnd 11273 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ (0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ) |
17 | 8, 16 | mulcld 11265 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (0...3)) โ ((iโ๐) ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)))) โ โ) |
18 | 3, 17 | fsumcl 15712 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...3)((iโ๐) ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)))) โ โ) |
19 | 2, 18 | eqeltrid 2833 | 1 โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ โ โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โ wcel 2099 ifcif 4529 class class class wbr 5148 โฆ cmpt 5231 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โcc 11137 โcr 11138 0cc0 11139 ici 11141 ยท cmul 11144 โค cle 11280 / cdiv 11902 3c3 12299 โ0cn0 12503 โคcz 12589 ...cfz 13517 โcexp 14059 โcre 15077 ฮฃcsu 15665 โซ2citg2 25558 ๐ฟ1cibl 25559 โซcitg 25560 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-inf2 9665 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 ax-pre-sup 11217 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-isom 6557 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-sup 9466 df-inf 9467 df-oi 9534 df-card 9963 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 df-nn 12244 df-2 12306 df-3 12307 df-4 12308 df-n0 12504 df-z 12590 df-uz 12854 df-rp 13008 df-fz 13518 df-fzo 13661 df-fl 13790 df-mod 13868 df-seq 14000 df-exp 14060 df-hash 14323 df-cj 15079 df-re 15080 df-im 15081 df-sqrt 15215 df-abs 15216 df-clim 15465 df-sum 15666 df-ibl 25564 df-itg 25565 |
This theorem is referenced by: itgneg 25746 itgaddlem2 25766 itgadd 25767 itgsub 25768 itgfsum 25769 itgmulc2lem2 25775 itgmulc2 25776 itgabs 25777 itgsplitioo 25780 ditgcl 25800 ditgswap 25801 ftc1lem1 25983 ftc1lem2 25984 ftc1a 25985 ftc1lem4 25987 ftc2 25992 itgparts 25995 itgsubstlem 25996 itgpowd 25998 itgulm 26357 itgaddnclem2 37152 itgaddnc 37153 itgsubnc 37155 itgmulc2nclem2 37160 itgmulc2nc 37161 itgabsnc 37162 ftc1cnnclem 37164 ftc1anc 37174 ftc2nc 37175 lcmineqlem10 41509 itgsinexplem1 45342 itgsinexp 45343 itgspltprt 45367 fourierdlem30 45525 fourierdlem47 45541 fourierdlem73 45567 fourierdlem83 45577 fourierdlem87 45581 fourierdlem95 45589 fourierdlem103 45597 fourierdlem104 45598 fourierdlem107 45601 fourierdlem112 45606 sqwvfoura 45616 etransclem23 45645 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |