Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcl 24385
 Description: The integral of an integrable function is a complex number. This is Metamath 100 proof #86. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmpt.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcl.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgcl (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgcl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
21dfitg 24371 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3 fzfid 13336 . . 3 (𝜑 → (0...3) ∈ Fin)
4 ax-icn 10585 . . . . 5 i ∈ ℂ
5 elfznn0 12995 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
65adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7 expcl 13443 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
84, 6, 7sylancr 590 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9 elfzelz 12902 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
10 eqidd 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
11 eqidd 2823 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12 itgcl.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
13 itgmpt.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
1410, 11, 12, 13iblitg 24370 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
159, 14sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
1615recnd 10658 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
178, 16mulcld 10650 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
183, 17fsumcl 15081 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
192, 18eqeltrid 2918 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114  ifcif 4439   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  ici 10528   · cmul 10531   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  3c3 11681  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  ℜcre 14447  Σcsu 15033  ∫2citg2 24218  𝐿1cibl 24219  ∫citg 24220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-ibl 24224  df-itg 24225 This theorem is referenced by:  itgneg  24405  itgaddlem2  24425  itgadd  24426  itgsub  24427  itgfsum  24428  itgmulc2lem2  24434  itgmulc2  24435  itgabs  24436  itgsplitioo  24439  ditgcl  24459  ditgswap  24460  ftc1lem1  24636  ftc1lem2  24637  ftc1a  24638  ftc1lem4  24640  ftc2  24645  itgparts  24648  itgsubstlem  24649  itgpowd  24651  itgulm  25001  itgaddnclem2  35078  itgaddnc  35079  itgsubnc  35081  itgmulc2nclem2  35086  itgmulc2nc  35087  itgabsnc  35088  ftc1cnnclem  35090  ftc1anc  35100  ftc2nc  35101  lcmineqlem10  39291  itgsinexplem1  42539  itgsinexp  42540  itgspltprt  42564  fourierdlem30  42722  fourierdlem47  42738  fourierdlem73  42764  fourierdlem83  42774  fourierdlem87  42778  fourierdlem95  42786  fourierdlem103  42794  fourierdlem104  42795  fourierdlem107  42798  fourierdlem112  42803  sqwvfoura  42813  etransclem23  42842
 Copyright terms: Public domain W3C validator