Theorem itgcl 24853

Description: The integral of an integrable function is a complex number. This is Metamath 100 proof #86. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmpt.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcl.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgcl	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 24839	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3		fzfid 13621	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...3) ∈ Fin)
4		ax-icn 10861	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
5		elfznn0 13278	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		expcl 13728	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
8	4, 6, 7	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9		elfzelz 13185	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
10		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
11		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12		itgcl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
13		itgmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14	10, 11, 12, 13	iblitg 24838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
15	9, 14	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
17	8, 16	mulcld 10926	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
18	3, 17	fsumcl 15373	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
19	2, 18	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   · cmul 10807   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  3c3 11959  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  Σcsu 15325  ∫₂citg2 24685  𝐿¹cibl 24686  ∫citg 24687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-ibl 24691  df-itg 24692

This theorem is referenced by:  itgneg  24873  itgaddlem2  24893  itgadd  24894  itgsub  24895  itgfsum  24896  itgmulc2lem2  24902  itgmulc2  24903  itgabs  24904  itgsplitioo  24907  ditgcl  24927  ditgswap  24928  ftc1lem1  25104  ftc1lem2  25105  ftc1a  25106  ftc1lem4  25108  ftc2  25113  itgparts  25116  itgsubstlem  25117  itgpowd  25119  itgulm  25472  itgaddnclem2  35763  itgaddnc  35764  itgsubnc  35766  itgmulc2nclem2  35771  itgmulc2nc  35772  itgabsnc  35773  ftc1cnnclem  35775  ftc1anc  35785  ftc2nc  35786  lcmineqlem10  39974  itgsinexplem1  43385  itgsinexp  43386  itgspltprt  43410  fourierdlem30  43568  fourierdlem47  43584  fourierdlem73  43610  fourierdlem83  43620  fourierdlem87  43624  fourierdlem95  43632  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem107  43644  fourierdlem112  43649  sqwvfoura  43659  etransclem23  43688