Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblitg 24376
 Description: If a function is integrable, then the ∫2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
iblitg.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
iblitg.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblitg.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
iblitg ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
3 iblitg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
43adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
5 iexpcyc 13569 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
65oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))) = (𝐵 / (i↑𝐾)))
76fveq2d 6653 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
87ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
94, 8eqtr4d 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
109ibllem 24372 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
1110mpteq2dv 5129 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
122, 11eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
1312fveq2d 6653 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
14 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (i↑𝑘) = (i↑(𝐾 mod 4)))
1514oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))
1615fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
1716breq2d 5045 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))))
1817anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))))
1918, 16ifbieq1d 4451 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
2019mpteq2dv 5129 . . . . 5 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
2120fveq2d 6653 . . . 4 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
2221eleq1d 2877 . . 3 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
23 iblitg.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
24 eqidd 2802 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
25 eqidd 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
26 iblitg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2724, 25, 26isibl2 24374 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
2823, 27mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
2928simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
3029adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
31 4nn 11712 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
32 zmodfz 13260 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
3331, 32mpan2 690 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
34 4m1e3 11758 . . . . . 6 (4 − 1) = 3
3534oveq2i 7150 . . . . 5 (0...(4 − 1)) = (0...3)
3633, 35eleqtrdi 2903 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
3736adantl 485 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
3822, 30, 37rspcdva 3576 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ)
3913, 38eqeltrd 2893 1 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕcn 11629  3c3 11685  4c4 11686  ℤcz 11973  ...cfz 12889   mod cmo 13236  ↑cexp 13429  ℜcre 14452  MblFncmbf 24222  ∫2citg2 24224  𝐿1cibl 24225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-ibl 24230 This theorem is referenced by:  itgcl  24391  itgcnlem  24397  iblss  24412  iblss2  24413  itgsplit  24443
 Copyright terms: Public domain W3C validator