MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblitg 25133
Description: If a function is integrable, then the 2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
iblitg.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
iblitg.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblitg.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
iblitg ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
3 iblitg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
43adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
5 iexpcyc 14111 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
65oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))) = (𝐵 / (i↑𝐾)))
76fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
87ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
94, 8eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
109ibllem 25129 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
1110mpteq2dv 5207 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
122, 11eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
1312fveq2d 6846 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
14 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (i↑𝑘) = (i↑(𝐾 mod 4)))
1514oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))
1615fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
1716breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))))
1817anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))))
1918, 16ifbieq1d 4510 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
2019mpteq2dv 5207 . . . . 5 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
2120fveq2d 6846 . . . 4 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
2221eleq1d 2822 . . 3 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
23 iblitg.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
24 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
25 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
26 iblitg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2724, 25, 26isibl2 25131 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
2823, 27mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
2928simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
31 4nn 12236 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
32 zmodfz 13798 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
3331, 32mpan2 689 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
34 4m1e3 12282 . . . . . 6 (4 − 1) = 3
3534oveq2i 7368 . . . . 5 (0...(4 − 1)) = (0...3)
3633, 35eleqtrdi 2848 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
3736adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
3822, 30, 37rspcdva 3582 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ)
3913, 38eqeltrd 2838 1 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  3c3 12209  4c4 12210  cz 12499  ...cfz 13424   mod cmo 13774  cexp 13967  cre 14982  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-ibl 24986
This theorem is referenced by:  itgcl  25148  itgcnlem  25154  iblss  25169  iblss2  25170  itgsplit  25200
  Copyright terms: Public domain W3C validator