Theorem iblitg 25803

Description: If a function is integrable, then the ∫₂ integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblitg.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
iblitg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
iblitg.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
iblitg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
iblitg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem iblitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblitg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
3		iblitg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
4	3	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
5		iexpcyc 14246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
6	5	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))) = (𝐵 / (i↑𝐾)))
7	6	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
9	4, 8	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
10	9	ibllem 25799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
11	10	mpteq2dv 5244	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
12	2, 11	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
13	12	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
14		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (i↑𝑘) = (i↑(𝐾 mod 4)))
15	14	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))
16	15	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
17	16	breq2d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))))
18	17	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))))
19	18, 16	ifbieq1d 4550	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
20	19	mpteq2dv 5244	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
21	20	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
22	21	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
23		iblitg.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
24		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
25		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
26		iblitg.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	isibl2 25801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
28	23, 27	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
31		4nn 12349	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
32		zmodfz 13933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
33	31, 32	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
34		4m1e3 12395	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
35	34	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
36	33, 35	eleqtrdi 2851	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
37	36	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
38	22, 30, 37	rspcdva 3623	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ)
39	13, 38	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  3c3 12322  4c4 12323  ℤcz 12613  ...cfz 13547   mod cmo 13909  ↑cexp 14102  ℜcre 15136  MblFncmbf 25649  ∫₂citg2 25651  𝐿¹cibl 25652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-ibl 25657

This theorem is referenced by:  itgcl  25819  itgcnlem  25825  iblss  25840  iblss2  25841  itgsplit  25871