Theorem iblitg 25737

Description: If a function is integrable, then the ∫₂ integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblitg.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
iblitg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
iblitg.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
iblitg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
iblitg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem iblitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblitg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
3		iblitg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
4	3	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
5		iexpcyc 14142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
6	5	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))) = (𝐵 / (i↑𝐾)))
7	6	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
8	7	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
9	4, 8	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
10	9	ibllem 25733	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
11	10	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
12	2, 11	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
13	12	fveq2d 6846	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
14		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (i↑𝑘) = (i↑(𝐾 mod 4)))
15	14	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))
16	15	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
17	16	breq2d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))))
18	17	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))))
19	18, 16	ifbieq1d 4506	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
20	19	mpteq2dv 5194	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
21	20	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
22	21	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
23		iblitg.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
24		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
25		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
26		iblitg.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	isibl2 25735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
28	23, 27	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
31		4nn 12240	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
32		zmodfz 13825	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
33	31, 32	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
34		4m1e3 12281	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
35	34	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
36	33, 35	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
37	36	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
38	22, 30, 37	rspcdva 3579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ)
39	13, 38	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  3c3 12213  4c4 12214  ℤcz 12500  ...cfz 13435   mod cmo 13801  ↑cexp 13996  ℜcre 15032  MblFncmbf 25583  ∫₂citg2 25585  𝐿¹cibl 25586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-ibl 25591

This theorem is referenced by:  itgcl  25753  itgcnlem  25759  iblss  25774  iblss2  25775  itgsplit  25805