Theorem iblitg 25748

Description: If a function is integrable, then the ∫₂ integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblitg.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
iblitg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
iblitg.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
iblitg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
iblitg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem iblitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblitg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
3		iblitg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
4	3	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
5		iexpcyc 14163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
6	5	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))) = (𝐵 / (i↑𝐾)))
7	6	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
8	7	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
9	4, 8	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
10	9	ibllem 25744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
11	10	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
12	2, 11	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
13	12	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
14		oveq2 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (i↑𝑘) = (i↑(𝐾 mod 4)))
15	14	oveq2d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))
16	15	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
17	16	breq2d 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))))
18	17	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))))
19	18, 16	ifbieq1d 4492	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
20	19	mpteq2dv 5180	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
21	20	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
22	21	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
23		iblitg.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
24		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
25		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
26		iblitg.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	isibl2 25746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
28	23, 27	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
31		4nn 12258	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
32		zmodfz 13846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
33	31, 32	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
34		4m1e3 12299	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
35	34	oveq2i 7372	. . . . 5 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
36	33, 35	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
37	36	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
38	22, 30, 37	rspcdva 3566	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ)
39	13, 38	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033  ici 11034   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  3c3 12231  4c4 12232  ℤcz 12518  ...cfz 13455   mod cmo 13822  ↑cexp 14017  ℜcre 15053  MblFncmbf 25594  ∫₂citg2 25596  𝐿¹cibl 25597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-ibl 25602

This theorem is referenced by:  itgcl  25764  itgcnlem  25770  iblss  25785  iblss2  25786  itgsplit  25816