MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgz 25168
Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz โˆซ๐ด0 d๐‘ฅ = 0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))
21dfitg 25157 . 2 โˆซ๐ด0 d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
3 ax-icn 11118 . . . . . . . . . . . . . . 15 i โˆˆ โ„‚
4 elfznn0 13543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
5 expcl 13994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7 ine0 11598 . . . . . . . . . . . . . . 15 i โ‰  0
8 elfzelz 13450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
9 expne0i 14009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
103, 7, 8, 9mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
116, 10div0d 11938 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (0 / (iโ†‘๐‘˜)) = 0)
1211fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜0))
13 re0 15046 . . . . . . . . . . . 12 (โ„œโ€˜0) = 0
1412, 13eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))) = 0)
1514ifeq1d 4509 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), 0, 0))
16 ifid 4530 . . . . . . . . . 10 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), 0, 0) = 0
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = 0)
1817mpteq2dv 5211 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
19 fconstmpt 5698 . . . . . . . 8 (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0)
2018, 19eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (โ„ ร— {0}))
2120fveq2d 6850 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(โ„ ร— {0})))
22 itg20 25125 . . . . . 6 (โˆซ2โ€˜(โ„ ร— {0})) = 0
2321, 22eqtrdi 2789 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = 0)
2423oveq2d 7377 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท 0))
256mul01d 11362 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท 0) = 0)
2624, 25eqtrd 2773 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = 0)
2726sumeq2i 15592 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(0 / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)0
28 fzfi 13886 . . . 4 (0...3) โˆˆ Fin
2928olci 865 . . 3 ((0...3) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆจ (0...3) โˆˆ Fin)
30 sumz 15615 . . 3 (((0...3) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆจ (0...3) โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)0 = 0)
3129, 30ax-mp 5 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)0 = 0
322, 27, 313eqtri 2765 1 โˆซ๐ด0 d๐‘ฅ = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3914  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  3c3 12217  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  ...cfz 13433  โ†‘cexp 13976  โ„œcre 14991  ฮฃcsu 15579  โˆซ2citg2 25003  โˆซcitg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-itg 25010  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itgge0  25198  itgfsum  25214
  Copyright terms: Public domain W3C validator