MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgz 25831
Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz 𝐴0 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))
21dfitg 25819 . 2 𝐴0 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))))
3 ax-icn 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
4 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
7 ine0 11696 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
8 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 expne0i 14132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
103, 7, 8, 9mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ≠ 0)
116, 10div0d 12040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1211fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13 re0 15188 . . . . . . . . . . . 12 (ℜ‘0) = 0
1412, 13eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
1514ifeq1d 4550 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0))
16 ifid 4571 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0) = 0
1715, 16eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
1817mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
19 fconstmpt 5751 . . . . . . . 8 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
2018, 19eqtr4di 2793 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0}))
2120fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
22 itg20 25787 . . . . . 6 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
2321, 22eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
2423oveq2d 7447 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0))
256mul01d 11458 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
2624, 25eqtrd 2775 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
2726sumeq2i 15731 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
28 fzfi 14010 . . . 4 (0...3) ∈ Fin
2928olci 866 . . 3 ((0...3) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
30 sumz 15755 . . 3 (((0...3) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
3129, 30ax-mp 5 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
322, 27, 313eqtri 2767 1 𝐴0 d𝑥 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158  cle 11294   / cdiv 11918  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  cre 15133  Σcsu 15719  2citg2 25665  citg 25667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-itg 25672  df-0p 25719
This theorem is referenced by:  itgge0  25861  itgfsum  25877
  Copyright terms: Public domain W3C validator