Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgz 24480
 Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz 𝐴0 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . 3 (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))
21dfitg 24469 . 2 𝐴0 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))))
3 ax-icn 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
4 elfznn0 13049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 13497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
7 ine0 11113 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
8 elfzelz 12956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 expne0i 13511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
103, 7, 8, 9mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ≠ 0)
116, 10div0d 11453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1211fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13 re0 14559 . . . . . . . . . . . 12 (ℜ‘0) = 0
1412, 13eqtrdi 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
1514ifeq1d 4439 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0))
16 ifid 4460 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0) = 0
1715, 16eqtrdi 2809 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
1817mpteq2dv 5128 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
19 fconstmpt 5583 . . . . . . . 8 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
2018, 19eqtr4di 2811 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0}))
2120fveq2d 6662 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
22 itg20 24437 . . . . . 6 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
2321, 22eqtrdi 2809 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
2423oveq2d 7166 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0))
256mul01d 10877 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
2624, 25eqtrd 2793 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
2726sumeq2i 15104 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
28 fzfi 13389 . . . 4 (0...3) ∈ Fin
2928olci 863 . . 3 ((0...3) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
30 sumz 15127 . . 3 (((0...3) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
3129, 30ax-mp 5 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
322, 27, 313eqtri 2785 1 𝐴0 d𝑥 = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3858  ifcif 4420  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  ici 10577   · cmul 10580   ≤ cle 10714   / cdiv 11335  3c3 11730  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282  ...cfz 12939  ↑cexp 13479  ℜcre 14504  Σcsu 15090  ∫2citg2 24316  ∫citg 24318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xadd 12549  df-ioo 12783  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-xmet 20159  df-met 20160  df-ovol 24164  df-vol 24165  df-mbf 24319  df-itg1 24320  df-itg2 24321  df-itg 24323  df-0p 24370 This theorem is referenced by:  itgge0  24510  itgfsum  24526
 Copyright terms: Public domain W3C validator