Theorem itgz 25680

Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgz	⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itgz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 25668	. 2 ⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))))
3		ax-icn 11068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
4		elfznn0 13523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5		expcl 13986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
7		ine0 11555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ≠ 0
8		elfzelz 13427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
9		expne0i 14001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
10	3, 7, 8, 9	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ≠ 0)
11	6, 10	div0d 11899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
12	11	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13		re0 15059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ‘0) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
15	14	ifeq1d 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0))
16		ifid 4517	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
18	17	mpteq2dv 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
19		fconstmpt 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
20	18, 19	eqtr4di 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0}))
21	20	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
22		itg20 25636	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
24	23	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0))
25	6	mul01d 11315	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
26	24, 25	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
27	26	sumeq2i 15605	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
28		fzfi 13879	. . . 4 ⊢ (0...3) ∈ Fin
29	28	olci 866	. . 3 ⊢ ((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
30		sumz 15629	. . 3 ⊢ (((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
31	29, 30	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
32	2, 27, 31	3eqtri 2756	1 ⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3903  ifcif 4476  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  ici 11011   · cmul 11014   ≤ cle 11150   / cdiv 11777  3c3 12184  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ↑cexp 13968  ℜcre 15004  Σcsu 15593  ∫₂citg2 25515  ∫citg 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21254  df-met 21255  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-mbf 25518  df-itg1 25519  df-itg2 25520  df-itg 25522  df-0p 25569

This theorem is referenced by:  itgge0  25710  itgfsum  25726