MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalg2 16438
Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalg2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Proof of Theorem divalg2
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12631 . . . 4 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
2 nnne0 12297 . . . 4 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
31, 2jca 511 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0))
4 divalg 16436 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5 divalgb 16437 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
64, 5mpbid 232 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
763expb 1119 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
83, 7sylan2 593 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
9 nnre 12270 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
10 nnnn0 12530 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 12587 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐷)
129, 11absidd 15457 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → (abs‘𝐷) = 𝐷)
1312breq2d 5159 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < 𝐷))
1413anbi1d 631 . . . 4 (𝐷 ∈ ℕ → ((𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
1514reubidv 3395 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
1615adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
178, 16mpbid 232 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  ∃!wreu 3375   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  abscabs 15269  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  divalgmod  16439  ndvdssub  16442
  Copyright terms: Public domain W3C validator