![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divalg2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
divalg2 | โข ((๐ โ โค โง ๐ท โ โ) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < ๐ท โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nnz 12617 | . . . 4 โข (๐ท โ โ โ ๐ท โ โค) | |
2 | nnne0 12284 | . . . 4 โข (๐ท โ โ โ ๐ท โ 0) | |
3 | 1, 2 | jca 510 | . . 3 โข (๐ท โ โ โ (๐ท โ โค โง ๐ท โ 0)) |
4 | divalg 16387 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ท โ โค โง ๐ท โ 0) โ โ!๐ โ โค โ๐ โ โค (0 โค ๐ โง ๐ < (absโ๐ท) โง ๐ = ((๐ ยท ๐ท) + ๐))) | |
5 | divalgb 16388 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ท โ โค โง ๐ท โ 0) โ (โ!๐ โ โค โ๐ โ โค (0 โค ๐ โง ๐ < (absโ๐ท) โง ๐ = ((๐ ยท ๐ท) + ๐)) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < (absโ๐ท) โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐)))) | |
6 | 4, 5 | mpbid 231 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ท โ โค โง ๐ท โ 0) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < (absโ๐ท) โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐))) |
7 | 6 | 3expb 1117 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง (๐ท โ โค โง ๐ท โ 0)) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < (absโ๐ท) โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐))) |
8 | 3, 7 | sylan2 591 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ท โ โ) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < (absโ๐ท) โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐))) |
9 | nnre 12257 | . . . . . . 7 โข (๐ท โ โ โ ๐ท โ โ) | |
10 | nnnn0 12517 | . . . . . . . 8 โข (๐ท โ โ โ ๐ท โ โ0) | |
11 | 10 | nn0ge0d 12573 | . . . . . . 7 โข (๐ท โ โ โ 0 โค ๐ท) |
12 | 9, 11 | absidd 15409 | . . . . . 6 โข (๐ท โ โ โ (absโ๐ท) = ๐ท) |
13 | 12 | breq2d 5164 | . . . . 5 โข (๐ท โ โ โ (๐ < (absโ๐ท) โ ๐ < ๐ท)) |
14 | 13 | anbi1d 629 | . . . 4 โข (๐ท โ โ โ ((๐ < (absโ๐ท) โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐)) โ (๐ < ๐ท โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐)))) |
15 | 14 | reubidv 3392 | . . 3 โข (๐ท โ โ โ (โ!๐ โ โ0 (๐ < (absโ๐ท) โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐)) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < ๐ท โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐)))) |
16 | 15 | adantl 480 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ท โ โ) โ (โ!๐ โ โ0 (๐ < (absโ๐ท) โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐)) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < ๐ท โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐)))) |
17 | 8, 16 | mpbid 231 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ท โ โ) โ โ!๐ โ โ0 (๐ < ๐ท โง ๐ท โฅ (๐ โ ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2937 โwrex 3067 โ!wreu 3372 class class class wbr 5152 โcfv 6553 (class class class)co 7426 0cc0 11146 + caddc 11149 ยท cmul 11151 < clt 11286 โค cle 11287 โ cmin 11482 โcn 12250 โ0cn0 12510 โคcz 12596 abscabs 15221 โฅ cdvds 16238 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-sup 9473 df-inf 9474 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13015 df-fz 13525 df-seq 14007 df-exp 14067 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-dvds 16239 |
This theorem is referenced by: divalgmod 16390 ndvdssub 16393 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |