Theorem divalg2 16352

Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Proof of Theorem divalg2

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12580	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
2		nnne0 12247	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0))
4		divalg 16350	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5		divalgb 16351	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
6	4, 5	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
7	6	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
8	3, 7	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
9		nnre 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
10		nnnn0 12480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐷)
12	9, 11	absidd 15372	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (abs‘𝐷) = 𝐷)
13	12	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < 𝐷))
14	13	anbi1d 629	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → ((𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
15	14	reubidv 3388	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
17	8, 16	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3368   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11445  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  abscabs 15184   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202

This theorem is referenced by:  divalgmod  16353  ndvdssub  16356