MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalg2 16389
Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalg2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ

Proof of Theorem divalg2
Dummy variable ๐‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12617 . . . 4 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2 nnne0 12284 . . . 4 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โ‰  0)
31, 2jca 510 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0))
4 divalg 16387 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
5 divalgb 16388 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
64, 5mpbid 231 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
763expb 1117 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
83, 7sylan2 591 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
9 nnre 12257 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
10 nnnn0 12517 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
1110nn0ge0d 12573 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
129, 11absidd 15409 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐ท) = ๐ท)
1312breq2d 5164 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘Ÿ < ๐ท))
1413anbi1d 629 . . . 4 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” (๐‘Ÿ < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
1514reubidv 3392 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
1615adantl 480 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
178, 16mpbid 231 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3372   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  abscabs 15221   โˆฅ cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  divalgmod  16390  ndvdssub  16393
  Copyright terms: Public domain W3C validator