MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atan1 26276
Description: The arctangent of 1 is π / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atan1 (arctan‘1) = (π / 4)

Proof of Theorem atan1
StepHypRef Expression
1 tan4thpi 25869 . . 3 (tan‘(π / 4)) = 1
21fveq2i 6845 . 2 (arctan‘(tan‘(π / 4))) = (arctan‘1)
3 pire 25813 . . . . 5 π ∈ ℝ
4 4nn 12235 . . . . 5 4 ∈ ℕ
5 nndivre 12193 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 690 . . . 4 (π / 4) ∈ ℝ
76recni 11168 . . 3 (π / 4) ∈ ℂ
8 rere 15006 . . . . 5 ((π / 4) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 4)) = (π / 4))
96, 8ax-mp 5 . . . 4 (ℜ‘(π / 4)) = (π / 4)
10 pirp 25816 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
11 rphalfcl 12941 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ+
13 rpgt0 12926 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 0 < (π / 2)
15 halfpire 25819 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
16 lt0neg2 11661 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1814, 17mpbi 229 . . . . . 6 -(π / 2) < 0
19 nnrp 12925 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
21 rpdivcl 12939 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (π / 4) ∈ ℝ+)
2210, 20, 21mp2an 690 . . . . . . 7 (π / 4) ∈ ℝ+
23 rpgt0 12926 . . . . . . 7 ((π / 4) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 4))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 0 < (π / 4)
25 neghalfpire 25820 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ
26 0re 11156 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
2725, 26, 6lttri 11280 . . . . . 6 ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 4)) → -(π / 2) < (π / 4))
2818, 24, 27mp2an 690 . . . . 5 -(π / 2) < (π / 4)
293recni 11168 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
30 2cnne0 12362 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
31 divdiv1 11865 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / 2) / 2) = (π / (2 · 2)))
3229, 30, 30, 31mp3an 1461 . . . . . . 7 ((π / 2) / 2) = (π / (2 · 2))
33 2t2e4 12316 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
3433oveq2i 7367 . . . . . . 7 (π / (2 · 2)) = (π / 4)
3532, 34eqtri 2764 . . . . . 6 ((π / 2) / 2) = (π / 4)
36 rphalflt 12943 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℝ+ → ((π / 2) / 2) < (π / 2))
3712, 36ax-mp 5 . . . . . 6 ((π / 2) / 2) < (π / 2)
3835, 37eqbrtrri 5128 . . . . 5 (π / 4) < (π / 2)
3925rexri 11212 . . . . . 6 -(π / 2) ∈ ℝ*
4015rexri 11212 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ*
41 elioo2 13304 . . . . . 6 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 4) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (π / 4) ∧ (π / 4) < (π / 2))))
4239, 40, 41mp2an 690 . . . . 5 ((π / 4) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (π / 4) ∧ (π / 4) < (π / 2)))
436, 28, 38, 42mpbir3an 1341 . . . 4 (π / 4) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))
449, 43eqeltri 2834 . . 3 (ℜ‘(π / 4)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))
45 atantan 26271 . . 3 (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(π / 4)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘(π / 4))) = (π / 4))
467, 44, 45mp2an 690 . 2 (arctan‘(tan‘(π / 4))) = (π / 4)
472, 46eqtr3i 2766 1 (arctan‘1) = (π / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7356  cc 11048  cr 11049  0cc0 11050  1c1 11051   · cmul 11055  *cxr 11187   < clt 11188  -cneg 11385   / cdiv 11811  cn 12152  2c2 12207  4c4 12209  +crp 12914  (,)cioo 13263  cre 14981  tanctan 15947  πcpi 15948  arctancatan 26212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13906  df-exp 13967  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14951  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-limsup 15352  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-ef 15949  df-sin 15951  df-cos 15952  df-tan 15953  df-pi 15954  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-topgen 17324  df-pt 17325  df-prds 17328  df-xrs 17383  df-qtop 17388  df-imas 17389  df-xps 17391  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-mulg 18871  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-cnfld 20795  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-lp 22485  df-perf 22486  df-cn 22576  df-cnp 22577  df-haus 22664  df-tx 22911  df-hmeo 23104  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-xms 23671  df-ms 23672  df-tms 23673  df-cncf 24239  df-limc 25228  df-dv 25229  df-log 25910  df-atan 26215
This theorem is referenced by:  leibpi  26290
  Copyright terms: Public domain W3C validator