MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a2 27341
Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 27342. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ โ†” (๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2
StepHypRef Expression
1 zre 12592 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
21rehalfcld 12489 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
32adantr 479 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
4 id 22 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
5 2z 12624 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
65a1i 11 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
74, 6zmulcld 12702 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
87zred 12696 . . . 4 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„)
98adantl 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„)
10 2re 12316 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
11 2pos 12345 . . . . 5 0 < 2
1210, 11pm3.2i 469 . . . 4 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
1312a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
14 ltdiv1 12108 . . 3 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) < ((๐ผ ยท 2) / 2)))
153, 9, 13, 14syl3anc 1368 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) < ((๐ผ ยท 2) / 2)))
16 zcn 12593 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1716adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
18 2cnne0 12452 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
1918a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
20 divdiv1 11955 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
2117, 19, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
22 2t2e4 12406 . . . . 5 (2 ยท 2) = 4
2322oveq2i 7427 . . . 4 (๐‘ / (2 ยท 2)) = (๐‘ / 4)
2421, 23eqtrdi 2781 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / 4))
25 zcn 12593 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
2625adantl 480 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
27 2cnd 12320 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
28 2ne0 12346 . . . . 5 2 โ‰  0
2928a1i 11 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
3026, 27, 29divcan4d 12026 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ ยท 2) / 2) = ๐ผ)
3124, 30breq12d 5156 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ / 2) / 2) < ((๐ผ ยท 2) / 2) โ†” (๐‘ / 4) < ๐ผ))
32 4re 12326 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
3332a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„)
34 4ne0 12350 . . . . 5 4 โ‰  0
3534a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โ‰  0)
361, 33, 35redivcld 12072 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
37 fllt 13803 . . 3 (((๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 4) < ๐ผ โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ))
3836, 37sylan 578 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 4) < ๐ผ โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ))
3915, 31, 383bitrrd 305 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ โ†” (๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138   ยท cmul 11143   < clt 11278   / cdiv 11901  2c2 12297  4c4 12299  โ„คcz 12588  โŒŠcfl 13787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fl 13789
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  27342
  Copyright terms: Public domain W3C validator