MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a2 25977
Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 25978. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2
StepHypRef Expression
1 zre 11977 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21rehalfcld 11876 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
32adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4 id 22 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ)
5 2z 12006 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
74, 6zmulcld 12085 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℤ)
87zred 12079 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
98adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
10 2re 11703 . . . . 5 2 ∈ ℝ
11 2pos 11732 . . . . 5 0 < 2
1210, 11pm3.2i 474 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1312a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14 ltdiv1 11497 . . 3 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐼 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
153, 9, 13, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
16 zcn 11978 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18 2cnne0 11839 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
20 divdiv1 11344 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
2117, 19, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
22 2t2e4 11793 . . . . 5 (2 · 2) = 4
2322oveq2i 7150 . . . 4 (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4)
2421, 23eqtrdi 2852 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
25 zcn 11978 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
2625adantl 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℂ)
27 2cnd 11707 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28 2ne0 11733 . . . . 5 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
3026, 27, 29divcan4d 11415 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 · 2) / 2) = 𝐼)
3124, 30breq12d 5046 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2) ↔ (𝑁 / 4) < 𝐼))
32 4re 11713 . . . . 5 4 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
34 4ne0 11737 . . . . 5 4 ≠ 0
3534a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
361, 33, 35redivcld 11461 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
37 fllt 13175 . . 3 (((𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
3836, 37sylan 583 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
3915, 31, 383bitrrd 309 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535   < clt 10668   / cdiv 11290  2c2 11684  4c4 11686  cz 11973  cfl 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fl 13161
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  25978
  Copyright terms: Public domain W3C validator