MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a2 27448
Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 27449. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2
StepHypRef Expression
1 zre 12614 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21rehalfcld 12510 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
32adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4 id 22 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ)
5 2z 12646 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
74, 6zmulcld 12725 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℤ)
87zred 12719 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
98adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
10 2re 12337 . . . . 5 2 ∈ ℝ
11 2pos 12366 . . . . 5 0 < 2
1210, 11pm3.2i 470 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1312a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14 ltdiv1 12129 . . 3 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐼 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
153, 9, 13, 14syl3anc 1370 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
16 zcn 12615 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18 2cnne0 12473 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
20 divdiv1 11975 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
2117, 19, 19, 20syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
22 2t2e4 12427 . . . . 5 (2 · 2) = 4
2322oveq2i 7441 . . . 4 (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4)
2421, 23eqtrdi 2790 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
25 zcn 12615 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
2625adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℂ)
27 2cnd 12341 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28 2ne0 12367 . . . . 5 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
3026, 27, 29divcan4d 12046 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 · 2) / 2) = 𝐼)
3124, 30breq12d 5160 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2) ↔ (𝑁 / 4) < 𝐼))
32 4re 12347 . . . . 5 4 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
34 4ne0 12371 . . . . 5 4 ≠ 0
3534a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
361, 33, 35redivcld 12092 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
37 fllt 13842 . . 3 (((𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
3836, 37sylan 580 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
3915, 31, 383bitrrd 306 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157   < clt 11292   / cdiv 11917  2c2 12318  4c4 12320  cz 12610  cfl 13826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fl 13828
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  27449
  Copyright terms: Public domain W3C validator