Theorem 2lgslem1a2 26443

Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 26444. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12253	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12150	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ)
5		2z 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
7	4, 6	zmulcld 12361	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℤ)
8	7	zred 12355	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
10		2re 11977	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2pos 12006	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
12	10, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14		ltdiv1 11769	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐼 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
15	3, 9, 13, 14	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
16		zcn 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18		2cnne0 12113	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
20		divdiv1 11616	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
21	17, 19, 19, 20	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
22		2t2e4 12067	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4)
24	21, 23	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
25		zcn 12254	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℂ)
27		2cnd 11981	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28		2ne0 12007	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
30	26, 27, 29	divcan4d 11687	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 · 2) / 2) = 𝐼)
31	24, 30	breq12d 5083	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2) ↔ (𝑁 / 4) < 𝐼))
32		4re 11987	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
34		4ne0 12011	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
36	1, 33, 35	redivcld 11733	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
37		fllt 13454	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
38	36, 37	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
39	15, 31, 38	3bitrrd 305	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   / cdiv 11562  2c2 11958  4c4 11960  ℤcz 12249  ⌊cfl 13438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fl 13440

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  26444