MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a2 26741
Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 26742. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ โ†” (๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2
StepHypRef Expression
1 zre 12504 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
21rehalfcld 12401 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
32adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
4 id 22 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
5 2z 12536 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
65a1i 11 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
74, 6zmulcld 12614 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
87zred 12608 . . . 4 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„)
98adantl 483 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„)
10 2re 12228 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
11 2pos 12257 . . . . 5 0 < 2
1210, 11pm3.2i 472 . . . 4 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
1312a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
14 ltdiv1 12020 . . 3 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐ผ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) < ((๐ผ ยท 2) / 2)))
153, 9, 13, 14syl3anc 1372 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) < ((๐ผ ยท 2) / 2)))
16 zcn 12505 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1716adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
18 2cnne0 12364 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
1918a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
20 divdiv1 11867 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
2117, 19, 19, 20syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
22 2t2e4 12318 . . . . 5 (2 ยท 2) = 4
2322oveq2i 7369 . . . 4 (๐‘ / (2 ยท 2)) = (๐‘ / 4)
2421, 23eqtrdi 2793 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / 4))
25 zcn 12505 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
2625adantl 483 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
27 2cnd 12232 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
28 2ne0 12258 . . . . 5 2 โ‰  0
2928a1i 11 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
3026, 27, 29divcan4d 11938 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ ยท 2) / 2) = ๐ผ)
3124, 30breq12d 5119 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ / 2) / 2) < ((๐ผ ยท 2) / 2) โ†” (๐‘ / 4) < ๐ผ))
32 4re 12238 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
3332a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„)
34 4ne0 12262 . . . . 5 4 โ‰  0
3534a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โ‰  0)
361, 33, 35redivcld 11984 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
37 fllt 13712 . . 3 (((๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 4) < ๐ผ โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ))
3836, 37sylan 581 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 4) < ๐ผ โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ))
3915, 31, 383bitrrd 306 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < ๐ผ โ†” (๐‘ / 2) < (๐ผ ยท 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057   < clt 11190   / cdiv 11813  2c2 12209  4c4 12211  โ„คcz 12500  โŒŠcfl 13696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fl 13698
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  26742
  Copyright terms: Public domain W3C validator