Theorem 2lgslem1a2 27278

Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 27279. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12566	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12463	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ)
5		2z 12598	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
7	4, 6	zmulcld 12676	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℤ)
8	7	zred 12670	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
10		2re 12290	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2pos 12319	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
12	10, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14		ltdiv1 12082	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐼 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
15	3, 9, 13, 14	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
16		zcn 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18		2cnne0 12426	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
20		divdiv1 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
21	17, 19, 19, 20	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
22		2t2e4 12380	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4)
24	21, 23	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
25		zcn 12567	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℂ)
27		2cnd 12294	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28		2ne0 12320	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
30	26, 27, 29	divcan4d 12000	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 · 2) / 2) = 𝐼)
31	24, 30	breq12d 5154	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2) ↔ (𝑁 / 4) < 𝐼))
32		4re 12300	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
34		4ne0 12324	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
36	1, 33, 35	redivcld 12046	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
37		fllt 13777	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
38	36, 37	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
39	15, 31, 38	3bitrrd 306	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   < clt 11252   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  ℤcz 12562  ⌊cfl 13761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13763

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  27279