Theorem divdiv1d 12003

Description: Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmuld.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
divdiv23d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdiv1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdiv1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		divdiv23d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
6		divdiv1 11907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl122anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  0cc0 11092   · cmul 11097   / cdiv 11853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854

This theorem is referenced by:  discr  14185  hashf1  14400  bcfallfac  15970  eftlub  16034  tanval2  16058  sinhval  16079  sqrt2irrlem  16173  bitsp1  16354  4sqlem7  16859  4sqlem10  16862  uniioombl  25035  dvrec  25401  dvsincos  25427  dvcvx  25466  taylthlem2  25815  mcubic  26279  cubic2  26280  quart1lem  26287  quart1  26288  log2cnv  26376  log2tlbnd  26377  birthdaylem2  26384  efrlim  26401  bcmono  26707  m1lgs  26818  chto1lb  26908  vmalogdivsum2  26968  selberg3lem1  26987  selberg4lem1  26990  selberg4  26991  selberg34r  27001  pntrlog2bndlem2  27008  pntrlog2bndlem4  27010  pntpbnd2  27017  pntibndlem2  27021  pntlemg  27028  nnproddivdvdsd  40671  dvrelogpow2b  40738  aks4d1p1p7  40744  irrapxlem5  41335  divdiv3d  43842  mccllem  44086  clim1fr1  44090  sinaover2ne0  44357  dvnprodlem2  44436  wallispi2lem1  44560  stirlinglem3  44565  stirlinglem4  44566  stirlinglem7  44569  stirlinglem15  44577  dirker2re  44581  dirkerdenne0  44582  dirkertrigeqlem2  44588  dirkertrigeqlem3  44589  dirkertrigeq  44590  dirkercncflem1  44592  dirkercncflem2  44593  dirkercncflem4  44595  fourierdlem56  44651  fourierdlem66  44661  sqwvfourb  44718  fouriersw  44720  itscnhlc0xyqsol  47099