MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4t2lthalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4t2lthalf 15765
Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4t2lthalf ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf
StepHypRef Expression
1 flodddiv4lt 15764 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2 zre 11982 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 4re 11718 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
5 4ne0 11742 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
72, 4, 6redivcld 11466 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
87flcld 13172 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
98zred 12084 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
10 2rp 12391 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
129, 7, 11ltmul1d 12469 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
1312adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
141, 13mpbid 235 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
15 zcn 11983 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615halfcld 11879 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
17 2cnd 11712 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
18 2ne0 11738 . . . . . 6 2 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2016, 17, 19divcan1d 11415 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
21 2cnne0 11844 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
23 divdiv1 11349 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
2415, 22, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25 2t2e4 11798 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2726oveq2d 7165 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
2824, 27eqtrd 2859 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
2928oveq1d 7164 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3020, 29eqtr3d 2861 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3130adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3214, 31breqtrrd 5080 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535   · cmul 10540   < clt 10673   / cdiv 11295  2c2 11689  4c4 11691  cz 11978  +crp 12386  cfl 13164  cdvds 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fl 13166  df-dvds 15608
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  25950
  Copyright terms: Public domain W3C validator