Theorem flodddiv4t2lthalf 16480

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 16479	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2		zre 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		4re 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
5		4ne0 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
7	2, 4, 6	redivcld 12047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13836	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
9	8	zred 12704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
10		2rp 13025	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
12	9, 7, 11	ltmul1d 13105	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
13	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
14	1, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
15		zcn 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	halfcld 12493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
17		2cnd 12323	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 12351	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
20	16, 17, 19	divcan1d 11996	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
21		2cnne0 12457	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
23		divdiv1 11930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
24	15, 22, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25		2t2e4 12408	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
27	26	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
28	24, 27	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
29	28	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
30	20, 29	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
31	30	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
32	14, 31	breqtrrd 5139	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104   · cmul 11109   < clt 11247   / cdiv 11875  2c2 12299  4c4 12301  ℤcz 12595  ℝ⁺crp 13020  ⌊cfl 13828   ∥ cdvds 16314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fl 13830  df-dvds 16315

This theorem is used by:  gausslemma2dlem0e  27533