MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4t2lthalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4t2lthalf 16303
Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4t2lthalf ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) ยท 2) < (๐‘ / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf
StepHypRef Expression
1 flodddiv4lt 16302 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < (๐‘ / 4))
2 zre 12508 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 4re 12242 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„
43a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„)
5 4ne0 12266 . . . . . . . . 9 4 โ‰  0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โ‰  0)
72, 4, 6redivcld 11988 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
87flcld 13709 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ค)
98zred 12612 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„)
10 2rp 12925 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
1110a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
129, 7, 11ltmul1d 13003 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < (๐‘ / 4) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) ยท 2) < ((๐‘ / 4) ยท 2)))
1312adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) < (๐‘ / 4) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) ยท 2) < ((๐‘ / 4) ยท 2)))
141, 13mpbid 231 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) ยท 2) < ((๐‘ / 4) ยท 2))
15 zcn 12509 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1615halfcld 12403 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„‚)
17 2cnd 12236 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
18 2ne0 12262 . . . . . 6 2 โ‰  0
1918a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
2016, 17, 19divcan1d 11937 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ / 2) / 2) ยท 2) = (๐‘ / 2))
21 2cnne0 12368 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
23 divdiv1 11871 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
2415, 22, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
25 2t2e4 12322 . . . . . . . 8 (2 ยท 2) = 4
2625a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท 2) = 4)
2726oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / (2 ยท 2)) = (๐‘ / 4))
2824, 27eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / 4))
2928oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ / 2) / 2) ยท 2) = ((๐‘ / 4) ยท 2))
3020, 29eqtr3d 2775 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 2) = ((๐‘ / 4) ยท 2))
3130adantr 482 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) = ((๐‘ / 4) ยท 2))
3214, 31breqtrrd 5134 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) ยท 2) < (๐‘ / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061   < clt 11194   / cdiv 11817  2c2 12213  4c4 12215  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920  โŒŠcfl 13701   โˆฅ cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  26724
  Copyright terms: Public domain W3C validator