Theorem flodddiv4t2lthalf 16329

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 16328	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2		zre 12472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		4re 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
5		4ne0 12233	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
7	2, 4, 6	redivcld 11949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13702	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
9	8	zred 12577	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
10		2rp 12895	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
12	9, 7, 11	ltmul1d 12975	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
14	1, 13	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
15		zcn 12473	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	halfcld 12366	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
17		2cnd 12203	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 12229	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
20	16, 17, 19	divcan1d 11898	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
21		2cnne0 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
23		divdiv1 11832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
24	15, 22, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25		2t2e4 12284	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
27	26	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
28	24, 27	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
29	28	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
30	20, 29	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
31	30	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
32	14, 31	breqtrrd 5117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   · cmul 11011   < clt 11146   / cdiv 11774  2c2 12180  4c4 12182  ℤcz 12468  ℝ⁺crp 12890  ⌊cfl 13694   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  27298