Theorem flodddiv4t2lthalf 16382

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 16381	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2		zre 12523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		4re 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
5		4ne0 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
7	2, 4, 6	redivcld 11978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13752	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
9	8	zred 12628	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
10		2rp 12942	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
12	9, 7, 11	ltmul1d 13022	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
13	12	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
14	1, 13	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
15		zcn 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	halfcld 12417	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
17		2cnd 12254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 12280	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
20	16, 17, 19	divcan1d 11927	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
21		2cnne0 12381	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
23		divdiv1 11861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
24	15, 22, 22, 23	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25		2t2e4 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
27	26	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
28	24, 27	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
29	28	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
30	20, 29	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
31	30	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
32	14, 31	breqtrrd 5103	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033   · cmul 11038   < clt 11174   / cdiv 11802  2c2 12231  4c4 12233  ℤcz 12519  ℝ⁺crp 12937  ⌊cfl 13744   ∥ cdvds 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-dvds 16217

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  27345