Theorem idomnnzgmulnz 43449

Description: A finite product of nonzero elements in an integral domain is nonzero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzgmulnz.1	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idomnnzgmulnz.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzgmulnz.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
idomnnzgmulnz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzgmulnz.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzgmulnz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem idomnnzgmulnz

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
2	1	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)))
3	2	neeq1d 3018	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
4		mpteq1 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
5	4	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
6	5	neeq1d 3018	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
7		mpteq1 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴))
8	7	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)))
9	8	neeq1d 3018	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
10		mpteq1 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴))
11	10	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)))
12	11	neeq1d 3018	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
13		mpt0 6711	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
15	14	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ∅))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	16	gsum0 18923	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
19	15, 18	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
20		idomnnzgmulnz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	20, 21	ringidval 20460	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
23	22	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
25		idomnnzgmulnz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26		isidom 21027	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
27	26	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
28		domnnzr 21009	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
29		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30	21, 29	nzrnz 20816	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	25, 27, 28, 30	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	24, 31	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ≠ (0g‘𝑅))
33	19, 32	eqnetrd 3026	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
34		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
35		nfcsb1v 3875	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
36		csbeq1a 3865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
37	34, 35, 36	cbvmpt 5213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴) = (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
38	37	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
40		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
42	26	simplbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
43	25, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
44	20	crngmgp 20518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
46	45	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
48		idomnnzgmulnz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
49	48	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ Fin)
50		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
51	49, 50	ssfid 9298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
52	51	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ Fin)
53	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
54		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑦)
55	53, 54	sseldd 3914	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑁)
56		idomnnzgmulnz.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
57	56	ralrimiva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
58	57	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59		rspcsbela 4399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60	55, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
61		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	20, 61	mgpbas 20416	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
64	60, 63	eleqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
65		eldifi 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑁)
66	65	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
67	66	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝑁)
68	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
69		eldifn 4071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
70	69	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
71	70	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
72	71	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
73	57	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
74		rspcsbela 4399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
76	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
77	75, 76	eleqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
78		csbeq1 3854	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴)
79	40, 41, 47, 52, 64, 68, 72, 77, 78	gsumunsn 20225	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
80	39, 79	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
81	25, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
82	81	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑅 ∈ Domn)
83	82	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
84	60	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑚 ∈ 𝑦 ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
85	62, 47, 52, 84	gsummptcl 20232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
86	36	equcoms 2055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
87	86	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐴)
88	35, 34, 87	cbvmpt 5213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)
89	88	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
90	89	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
91		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
92	90, 91	eqnetrd 3026	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
93	85, 92	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
94		idomnnzgmulnz.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
95	94	ralrimiva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
96	95	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
97		rspcsbnea 43447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
98	67, 96, 97	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
99	98	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
100	75, 99	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
101		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
102	20, 101	mgpplusg 20415	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
103	102	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑅)
104	61, 103, 29	domnmuln0 21012	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
105	83, 93, 100, 104	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
106	80, 105	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
107	106	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
108	3, 6, 9, 12, 33, 107, 48	findcard2d 9220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  CMndccmn 20045  mulGrpcmgp 20411  1_rcur 20458  CRingccrg 20511  NzRingcnzr 20813  Domncdomn 20995  IDomncidom 20996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-nzr 20814  df-domn 20998  df-idom 20999

This theorem is used by:  aks6d1c5lem2  43454  deg1gprod  43456