Theorem idomnnzgmulnz 42121

Description: A finite product of non-zero elements in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzgmulnz.1	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idomnnzgmulnz.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzgmulnz.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
idomnnzgmulnz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzgmulnz.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzgmulnz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem idomnnzgmulnz

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5196	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
2	1	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)))
3	2	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
4		mpteq1 5196	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
5	4	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
6	5	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
7		mpteq1 5196	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴))
8	7	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)))
9	8	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
10		mpteq1 5196	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴))
11	10	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)))
12	11	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
13		mpt0 6660	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
15	14	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ∅))
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	16	gsum0 18611	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
19	15, 18	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
20		idomnnzgmulnz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	20, 21	ringidval 20092	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
23	22	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
25		idomnnzgmulnz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26		isidom 20634	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
27	26	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
28		domnnzr 20615	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
29		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30	21, 29	nzrnz 20424	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	25, 27, 28, 30	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	24, 31	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ≠ (0g‘𝑅))
33	19, 32	eqnetrd 2992	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
34		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
35		nfcsb1v 3886	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
36		csbeq1a 3876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
37	34, 35, 36	cbvmpt 5209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴) = (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
38	37	oveq2i 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
40		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
42	26	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
43	25, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
44	20	crngmgp 20150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
48		idomnnzgmulnz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ Fin)
50		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
51	49, 50	ssfid 9212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ Fin)
53	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
54		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑦)
55	53, 54	sseldd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑁)
56		idomnnzgmulnz.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
57	56	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
58	57	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59		rspcsbela 4401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60	55, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
61		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	20, 61	mgpbas 20054	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
64	60, 63	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
65		eldifi 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑁)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝑁)
68	67	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
69		eldifn 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
71	70	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
72	71	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
73	57	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
74		rspcsbela 4401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
76	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
77	75, 76	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
78		csbeq1 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴)
79	40, 41, 47, 52, 64, 68, 72, 77, 78	gsumunsn 19890	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
80	39, 79	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
81	25, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
82	81	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑅 ∈ Domn)
83	82	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
84	60	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑚 ∈ 𝑦 ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
85	62, 47, 52, 84	gsummptcl 19897	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
86	36	equcoms 2020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
87	86	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐴)
88	35, 34, 87	cbvmpt 5209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)
89	88	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
90	89	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
91		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
92	90, 91	eqnetrd 2992	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
93	85, 92	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
94		idomnnzgmulnz.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
95	94	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
96	95	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
97		rspcsbnea 42119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
98	67, 96, 97	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
99	98	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
100	75, 99	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
101		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
102	20, 101	mgpplusg 20053	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
103	102	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑅)
104	61, 103, 29	domnmuln0 20618	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
105	83, 93, 100, 104	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
106	80, 105	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
107	106	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
108	3, 6, 9, 12, 33, 107, 48	findcard2d 9130	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ⦋csb 3862   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  CMndccmn 19710  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  CRingccrg 20143  NzRingcnzr 20421  Domncdomn 20601  IDomncidom 20602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-nzr 20422  df-domn 20604  df-idom 20605

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42126  deg1gprod  42128