Theorem idomnnzgmulnz 42094

Description: A finite product of non-zero elements in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzgmulnz.1	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idomnnzgmulnz.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzgmulnz.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
idomnnzgmulnz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzgmulnz.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzgmulnz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem idomnnzgmulnz

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5191	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
2	1	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)))
3	2	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
4		mpteq1 5191	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
5	4	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
6	5	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
7		mpteq1 5191	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴))
8	7	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)))
9	8	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
10		mpteq1 5191	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴))
11	10	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)))
12	11	neeq1d 2984	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
13		mpt0 6642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
15	14	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ∅))
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	16	gsum0 18587	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
19	15, 18	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
20		idomnnzgmulnz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	20, 21	ringidval 20068	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
23	22	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
25		idomnnzgmulnz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26		isidom 20610	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
27	26	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
28		domnnzr 20591	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
29		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30	21, 29	nzrnz 20400	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	25, 27, 28, 30	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	24, 31	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ≠ (0g‘𝑅))
33	19, 32	eqnetrd 2992	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
34		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
35		nfcsb1v 3883	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
36		csbeq1a 3873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
37	34, 35, 36	cbvmpt 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴) = (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
38	37	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
40		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
42	26	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
43	25, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
44	20	crngmgp 20126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
48		idomnnzgmulnz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ Fin)
50		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
51	49, 50	ssfid 9188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ Fin)
53	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
54		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑦)
55	53, 54	sseldd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑁)
56		idomnnzgmulnz.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
57	56	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
58	57	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59		rspcsbela 4397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60	55, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
61		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	20, 61	mgpbas 20030	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
64	60, 63	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
65		eldifi 4090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑁)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝑁)
68	67	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
69		eldifn 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
71	70	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
72	71	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
73	57	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
74		rspcsbela 4397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
76	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
77	75, 76	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
78		csbeq1 3862	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴)
79	40, 41, 47, 52, 64, 68, 72, 77, 78	gsumunsn 19866	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
80	39, 79	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
81	25, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
82	81	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑅 ∈ Domn)
83	82	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
84	60	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑚 ∈ 𝑦 ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
85	62, 47, 52, 84	gsummptcl 19873	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
86	36	equcoms 2020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
87	86	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐴)
88	35, 34, 87	cbvmpt 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)
89	88	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
90	89	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
91		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
92	90, 91	eqnetrd 2992	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
93	85, 92	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
94		idomnnzgmulnz.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
95	94	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
96	95	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
97		rspcsbnea 42092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
98	67, 96, 97	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
99	98	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
100	75, 99	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
101		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
102	20, 101	mgpplusg 20029	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
103	102	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑅)
104	61, 103, 29	domnmuln0 20594	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
105	83, 93, 100, 104	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
106	80, 105	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
107	106	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
108	3, 6, 9, 12, 33, 107, 48	findcard2d 9107	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ⦋csb 3859   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  CMndccmn 19686  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  CRingccrg 20119  NzRingcnzr 20397  Domncdomn 20577  IDomncidom 20578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-nzr 20398  df-domn 20580  df-idom 20581

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42099  deg1gprod  42101