Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomnnzgmulnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomnnzgmulnz 42115
Description: A finite product of non-zero elements in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
idomnnzgmulnz.1 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idomnnzgmulnz.2 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzgmulnz.3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
idomnnzgmulnz.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzgmulnz.5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomnnzgmulnz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) ≠ (0g𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem idomnnzgmulnz
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
21oveq2d 7447 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)))
32neeq1d 2998 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
4 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛𝑦𝐴))
54oveq2d 7447 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)))
65neeq1d 2998 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
7 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴))
87oveq2d 7447 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)))
98neeq1d 2998 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
10 mpteq1 5241 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛𝑁𝐴))
1110oveq2d 7447 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)))
1211neeq1d 2998 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
13 mpt0 6711 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
1514oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ∅))
16 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1716gsum0 18710 . . . . 5 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
1915, 18eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (0g𝐺))
20 idomnnzgmulnz.1 . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2220, 21ringidval 20201 . . . . . 6 (1r𝑅) = (0g𝐺)
2322eqcomi 2744 . . . . 5 (0g𝐺) = (1r𝑅)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) = (1r𝑅))
25 idomnnzgmulnz.2 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
26 isidom 20742 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2726simprbi 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
28 domnnzr 20723 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
29 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3021, 29nzrnz 20532 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3125, 27, 28, 304syl 19 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3224, 31eqnetrd 3006 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ≠ (0g𝑅))
3319, 32eqnetrd 3006 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅))
34 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑚𝐴
35 nfcsb1v 3933 . . . . . . . 8 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
36 csbeq1a 3922 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
3734, 35, 36cbvmpt 5259 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴) = (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴)
3837oveq2i 7442 . . . . . 6 (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴)))
40 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4226simplbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
4325, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4420crngmgp 20259 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
4746adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
48 idomnnzgmulnz.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
4948adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑁 ∈ Fin)
50 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑦𝑁)
5149, 50ssfid 9299 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
5251adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑦 ∈ Fin)
5350ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑦𝑁)
54 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚𝑦)
5553, 54sseldd 3996 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚𝑁)
56 idomnnzgmulnz.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
5756ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
5857ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59 rspcsbela 4444 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6055, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
61 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6220, 61mgpbas 20158 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
6460, 63eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
65 eldifi 4141 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑁𝑦) → 𝑧𝑁)
6665adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦)) → 𝑧𝑁)
6766adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑧𝑁)
6867adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧𝑁)
69 eldifn 4142 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑁𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦)) → ¬ 𝑧𝑦)
7170adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
7271adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ¬ 𝑧𝑦)
7357ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
74 rspcsbela 4444 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7568, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7662a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
7775, 76eleqtrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
78 csbeq1 3911 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑧𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑧 / 𝑛𝐴)
7940, 41, 47, 52, 64, 68, 72, 77, 78gsumunsn 19993 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴))
8039, 79eqtrd 2775 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴))
8125, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8281adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑅 ∈ Domn)
8382adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
8460ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ∀𝑚𝑦 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
8562, 47, 52, 84gsummptcl 20000 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
8636equcoms 2017 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
8786eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝐴)
8835, 34, 87cbvmpt 5259 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑛𝑦𝐴)
8988a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑛𝑦𝐴))
9089oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)))
91 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅))
9290, 91eqnetrd 3006 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ≠ (0g𝑅))
9385, 92jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
94 idomnnzgmulnz.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
9594ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛𝑁 𝐴 ≠ (0g𝑅))
9695adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → ∀𝑛𝑁 𝐴 ≠ (0g𝑅))
97 rspcsbnea 42113 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 𝐴 ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))
9867, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))
9998adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))
10075, 99jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅)))
101 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10220, 101mgpplusg 20156 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝐺)
103102eqcomi 2744 . . . . . 6 (+g𝐺) = (.r𝑅)
10461, 103, 29domnmuln0 20726 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴) ≠ (0g𝑅))
10583, 93, 100, 104syl3anc 1370 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴) ≠ (0g𝑅))
10680, 105eqnetrd 3006 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅))
107106ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
1083, 6, 9, 12, 33, 107, 48findcard2d 9205 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) ≠ (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  CRingccrg 20252  NzRingcnzr 20529  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-nzr 20530  df-domn 20712  df-idom 20713
This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42120  deg1gprod  42122
  Copyright terms: Public domain W3C validator