Theorem idomnnzgmulnz 42586

Description: A finite product of nonzero elements in an integral domain is nonzero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzgmulnz.1	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idomnnzgmulnz.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzgmulnz.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
idomnnzgmulnz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzgmulnz.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzgmulnz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem idomnnzgmulnz

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
2	1	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)))
3	2	neeq1d 2992	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
4		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
5	4	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
6	5	neeq1d 2992	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
7		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴))
8	7	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)))
9	8	neeq1d 2992	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
10		mpteq1 5175	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴))
11	10	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)))
12	11	neeq1d 2992	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
13		mpt0 6634	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
15	14	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ∅))
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	16	gsum0 18643	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
19	15, 18	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
20		idomnnzgmulnz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	20, 21	ringidval 20155	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
23	22	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
25		idomnnzgmulnz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26		isidom 20693	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
27	26	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
28		domnnzr 20674	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
29		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30	21, 29	nzrnz 20483	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	25, 27, 28, 30	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	24, 31	eqnetrd 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ≠ (0g‘𝑅))
33	19, 32	eqnetrd 3000	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
34		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
35		nfcsb1v 3862	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
36		csbeq1a 3852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
37	34, 35, 36	cbvmpt 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴) = (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
38	37	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
40		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
42	26	simplbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
43	25, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
44	20	crngmgp 20213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
48		idomnnzgmulnz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ Fin)
50		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
51	49, 50	ssfid 9172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ Fin)
53	50	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
54		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑦)
55	53, 54	sseldd 3923	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑁)
56		idomnnzgmulnz.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
57	56	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
58	57	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59		rspcsbela 4379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60	55, 58, 59	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
61		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	20, 61	mgpbas 20117	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
64	60, 63	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
65		eldifi 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑁)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝑁)
68	67	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
69		eldifn 4073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
71	70	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
72	71	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
73	57	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
74		rspcsbela 4379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 73, 74	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
76	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
77	75, 76	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
78		csbeq1 3841	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴)
79	40, 41, 47, 52, 64, 68, 72, 77, 78	gsumunsn 19926	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
80	39, 79	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
81	25, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
82	81	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑅 ∈ Domn)
83	82	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
84	60	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑚 ∈ 𝑦 ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
85	62, 47, 52, 84	gsummptcl 19933	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
86	36	equcoms 2022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
87	86	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐴)
88	35, 34, 87	cbvmpt 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)
89	88	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
90	89	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
91		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
92	90, 91	eqnetrd 3000	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
93	85, 92	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
94		idomnnzgmulnz.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
95	94	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
96	95	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
97		rspcsbnea 42584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
98	67, 96, 97	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
99	98	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
100	75, 99	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
101		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
102	20, 101	mgpplusg 20116	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
103	102	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑅)
104	61, 103, 29	domnmuln0 20677	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
105	83, 93, 100, 104	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
106	80, 105	eqnetrd 3000	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
107	106	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
108	3, 6, 9, 12, 33, 107, 48	findcard2d 9094	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⦋csb 3838   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  CRingccrg 20206  NzRingcnzr 20480  Domncdomn 20660  IDomncidom 20661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-nzr 20481  df-domn 20663  df-idom 20664

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42591  deg1gprod  42593