Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomnnzgmulnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomnnzgmulnz 42135
Description: A finite product of non-zero elements in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
idomnnzgmulnz.1 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idomnnzgmulnz.2 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzgmulnz.3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
idomnnzgmulnz.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzgmulnz.5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomnnzgmulnz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) ≠ (0g𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem idomnnzgmulnz
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5234 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
21oveq2d 7448 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)))
32neeq1d 2999 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
4 mpteq1 5234 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛𝑦𝐴))
54oveq2d 7448 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)))
65neeq1d 2999 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
7 mpteq1 5234 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴))
87oveq2d 7448 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)))
98neeq1d 2999 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
10 mpteq1 5234 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑛𝑥𝐴) = (𝑛𝑁𝐴))
1110oveq2d 7448 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)))
1211neeq1d 2999 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺 Σg (𝑛𝑥𝐴)) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
13 mpt0 6709 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
1514oveq2d 7448 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ∅))
16 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1716gsum0 18698 . . . . 5 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
1915, 18eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (0g𝐺))
20 idomnnzgmulnz.1 . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2220, 21ringidval 20181 . . . . . 6 (1r𝑅) = (0g𝐺)
2322eqcomi 2745 . . . . 5 (0g𝐺) = (1r𝑅)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) = (1r𝑅))
25 idomnnzgmulnz.2 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
26 isidom 20726 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2726simprbi 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
28 domnnzr 20707 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
29 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3021, 29nzrnz 20516 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3125, 27, 28, 304syl 19 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3224, 31eqnetrd 3007 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ≠ (0g𝑅))
3319, 32eqnetrd 3007 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅))
34 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑚𝐴
35 nfcsb1v 3922 . . . . . . . 8 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
36 csbeq1a 3912 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
3734, 35, 36cbvmpt 5252 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴) = (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴)
3837oveq2i 7443 . . . . . 6 (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴)))
40 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4226simplbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
4325, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4420crngmgp 20239 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
4746adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
48 idomnnzgmulnz.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
4948adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑁 ∈ Fin)
50 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑦𝑁)
5149, 50ssfid 9302 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
5251adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑦 ∈ Fin)
5350ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑦𝑁)
54 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚𝑦)
5553, 54sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚𝑁)
56 idomnnzgmulnz.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
5756ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
5857ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59 rspcsbela 4437 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6055, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
61 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6220, 61mgpbas 20143 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
6460, 63eleqtrd 2842 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
65 eldifi 4130 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑁𝑦) → 𝑧𝑁)
6665adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦)) → 𝑧𝑁)
6766adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑧𝑁)
6867adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧𝑁)
69 eldifn 4131 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑁𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦)) → ¬ 𝑧𝑦)
7170adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
7271adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ¬ 𝑧𝑦)
7357ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
74 rspcsbela 4437 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7568, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7662a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
7775, 76eleqtrd 2842 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
78 csbeq1 3901 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑧𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑧 / 𝑛𝐴)
7940, 41, 47, 52, 64, 68, 72, 77, 78gsumunsn 19979 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑚 / 𝑛𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴))
8039, 79eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴))
8125, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8281adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑅 ∈ Domn)
8382adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
8460ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ∀𝑚𝑦 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
8562, 47, 52, 84gsummptcl 19986 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
8636equcoms 2018 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
8786eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝐴)
8835, 34, 87cbvmpt 5252 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑛𝑦𝐴)
8988a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑛𝑦𝐴))
9089oveq2d 7448 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)))
91 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅))
9290, 91eqnetrd 3007 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ≠ (0g𝑅))
9385, 92jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
94 idomnnzgmulnz.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
9594ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛𝑁 𝐴 ≠ (0g𝑅))
9695adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → ∀𝑛𝑁 𝐴 ≠ (0g𝑅))
97 rspcsbnea 42133 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 𝐴 ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))
9867, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))
9998adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))
10075, 99jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅)))
101 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10220, 101mgpplusg 20142 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝐺)
103102eqcomi 2745 . . . . . 6 (+g𝐺) = (.r𝑅)
10461, 103, 29domnmuln0 20710 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴)) ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 / 𝑛𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 / 𝑛𝐴 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴) ≠ (0g𝑅))
10583, 93, 100, 104syl3anc 1372 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚𝑦𝑚 / 𝑛𝐴))(+g𝐺)𝑧 / 𝑛𝐴) ≠ (0g𝑅))
10680, 105eqnetrd 3007 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅))
107106ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑁𝑧 ∈ (𝑁𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑛𝑦𝐴)) ≠ (0g𝑅) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g𝑅)))
1083, 6, 9, 12, 33, 107, 48findcard2d 9207 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) ≠ (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  csb 3898  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  c0 4332  {csn 4625  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  CRingccrg 20232  NzRingcnzr 20513  Domncdomn 20693  IDomncidom 20694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-nzr 20514  df-domn 20696  df-idom 20697
This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42140  deg1gprod  42142
  Copyright terms: Public domain W3C validator