Theorem idomnnzgmulnz 43163

Description: A finite product of nonzero elements in an integral domain is nonzero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzgmulnz.1	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idomnnzgmulnz.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzgmulnz.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
idomnnzgmulnz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzgmulnz.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzgmulnz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem idomnnzgmulnz

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5194	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
2	1	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)))
3	2	neeq1d 3015	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
4		mpteq1 5194	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
5	4	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
6	5	neeq1d 3015	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
7		mpteq1 5194	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴))
8	7	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)))
9	8	neeq1d 3015	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
10		mpteq1 5194	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴))
11	10	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)))
12	11	neeq1d 3015	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑥 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
13		mpt0 6679	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
15	14	oveq2d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ∅))
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	16	gsum0 18866	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
19	15, 18	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
20		idomnnzgmulnz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	20, 21	ringidval 20402	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺)
23	22	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
25		idomnnzgmulnz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26		isidom 20969	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
27	26	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
28		domnnzr 20951	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
29		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30	21, 29	nzrnz 20758	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	25, 27, 28, 30	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	24, 31	eqnetrd 3023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ≠ (0g‘𝑅))
33	19, 32	eqnetrd 3023	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ∅ ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
34		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
35		nfcsb1v 3871	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
36		csbeq1a 3861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
37	34, 35, 36	cbvmpt 5207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴) = (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
38	37	oveq2i 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
40		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
42	26	simplbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
43	25, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
44	20	crngmgp 20460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
46	45	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
48		idomnnzgmulnz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
49	48	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ Fin)
50		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
51	49, 50	ssfid 9253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
52	51	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ Fin)
53	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑁)
54		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑦)
55	53, 54	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → 𝑚 ∈ 𝑁)
56		idomnnzgmulnz.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
57	56	ralrimiva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
58	57	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59		rspcsbela 4396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60	55, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
61		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	20, 61	mgpbas 20358	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
64	60, 63	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑦) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
65		eldifi 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑁)
66	65	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
67	66	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝑁)
68	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
69		eldifn 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
70	69	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
71	70	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
72	71	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
73	57	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
74		rspcsbela 4396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
75	68, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
76	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺))
77	75, 76	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
78		csbeq1 3850	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴)
79	40, 41, 47, 52, 64, 68, 72, 77, 78	gsumunsn 20167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
80	39, 79	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴))
81	25, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
82	81	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → 𝑅 ∈ Domn)
83	82	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
84	60	ralrimiva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ∀𝑚 ∈ 𝑦 ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
85	62, 47, 52, 84	gsummptcl 20174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
86	36	equcoms 2053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
87	86	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐴)
88	35, 34, 87	cbvmpt 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)
89	88	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴))
90	89	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)))
91		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
92	90, 91	eqnetrd 3023	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
93	85, 92	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
94		idomnnzgmulnz.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
95	94	ralrimiva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
96	95	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
97		rspcsbnea 43161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
98	67, 96, 97	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
99	98	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
100	75, 99	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
101		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
102	20, 101	mgpplusg 20357	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
103	102	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑅)
104	61, 103, 29	domnmuln0 20954	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
105	83, 93, 100, 104	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑛⦌𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
106	80, 105	eqnetrd 3023	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))
107	106	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅)))
108	3, 6, 9, 12, 33, 107, 48	findcard2d 9175	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) ≠ (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  CMndccmn 19987  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  CRingccrg 20453  NzRingcnzr 20755  Domncdomn 20937  IDomncidom 20938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-nzr 20756  df-domn 20940  df-idom 20941

This theorem is used by:  aks6d1c5lem2  43168  deg1gprod  43170