Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c5lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c5lem2 42120
Description: Lemma for Claim 5, contradiction of different evaluations that map to the same. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1p5.1 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks6d1p5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c5.3 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c5.4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c5.5 (𝜑𝐴 < 𝑃)
aks6d1c5.6 𝑋 = (var1𝐾)
aks6d1c5.7 = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
aks6d1c5.8 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c5p2.1 (𝜑𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
aks6d1c5p2.2 (𝜑𝑍 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
aks6d1c5p2.3 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝐺𝑍))
aks6d1c5p2.4 (𝜑𝑊 ∈ (0...𝐴))
aks6d1c5p2.5 (𝜑 → (𝑌𝑊) < (𝑍𝑊))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c5lem2 (𝜑 → (0g𝐾) ≠ (0g𝐾))
Distinct variable groups:   ,𝑔,𝑖   𝐴,𝑔,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑖,𝑊   𝑔,𝑋,𝑖   𝑔,𝑌,𝑖   𝑔,𝑍,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑔,𝑖)   𝐺(𝑔,𝑖)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem aks6d1c5lem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (eval1𝐾) = (eval1𝐾)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (Poly1𝐾) = (Poly1𝐾)
3 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(Poly1𝐾))
5 aks6d1p5.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Field)
6 isfld 20757 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
76simprbi 496 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ CRing)
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
98crngringd 20264 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
10 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
1110zrhrhm 21540 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
129, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
13 zringbas 21482 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘ℤring)
1413, 3rhmf 20502 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
16 0zd 12623 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
17 aks6d1c5p2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (0...𝐴))
1817elfzelzd 13562 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℤ)
1916, 18zsubcld 12725 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 − 𝑊) ∈ ℤ)
2015, 19ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
21 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
2221, 4mgpbas 20158 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
23 aks6d1c5.7 . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
242ply1crng 22216 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
258, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
2621crngmgp 20259 . . . . . . . . . 10 ((Poly1𝐾) ∈ CRing → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ CMnd)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ CMnd)
2827cmnmndd 19837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
29 aks6d1c5p2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
30 nn0ex 12530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
32 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ V)
33 elmapg 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝐴) ∈ V) → (𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0))
3529, 34mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0)
3635, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℕ0)
3736nn0zd 12637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℤ)
3837, 37zsubcld 12725 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ)
39 0red 11262 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4039leidd 11827 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 0)
4136nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℝ)
4241recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℂ)
4342subidd 11606 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) = 0)
4443eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 = ((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)))
4540, 44breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)))
4638, 45jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊))))
47 elnn0z 12624 . . . . . . . . 9 (((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊))))
4846, 47sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℕ0)
49 aks6d1c5.6 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (var1𝐾)
501, 49, 3, 2, 4, 8, 20evl1vard 22357 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘𝑋)‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
51 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (algSc‘(Poly1𝐾)) = (algSc‘(Poly1𝐾))
5215, 18ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
531, 2, 3, 51, 4, 8, 52, 20evl1scad 22355 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))
54 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g‘(Poly1𝐾)) = (+g‘(Poly1𝐾))
55 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐾) = (+g𝐾)
561, 2, 3, 4, 8, 20, 50, 53, 54, 55evl1addd 22361 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))
5756simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
5822, 23, 28, 48, 57mulgnn0cld 19126 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
5943oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = (0 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
60 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
6122, 60, 23mulg0 19105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) → (0 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
6257, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
6359, 62eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
6463fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘(((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((eval1𝐾)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))))
6564fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
66 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r‘(Poly1𝐾)) = (1r‘(Poly1𝐾))
6721, 66ringidval 20201 . . . . . . . . . . . . 13 (1r‘(Poly1𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
6867eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (1r‘(Poly1𝐾))
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (1r‘(Poly1𝐾)))
7069fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))) = ((eval1𝐾)‘(1r‘(Poly1𝐾))))
7170fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘(1r‘(Poly1𝐾)))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
722, 49, 21, 23ply1idvr1 22314 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Ring → (0 𝑋) = (1r‘(Poly1𝐾)))
7372eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Ring → (1r‘(Poly1𝐾)) = (0 𝑋))
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(Poly1𝐾)) = (0 𝑋))
7574fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘(1r‘(Poly1𝐾))) = ((eval1𝐾)‘(0 𝑋)))
7675fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(1r‘(Poly1𝐾)))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘(0 𝑋))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
77 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
7844, 48eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
791, 2, 3, 4, 8, 20, 50, 23, 77, 78evl1expd 22365 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0 𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(0 𝑋))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0(.g‘(mulGrp‘𝐾))((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))
8079simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(0 𝑋))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0(.g‘(mulGrp‘𝐾))((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
81 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
8281, 3mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
8420, 83eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
85 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
86 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
8785, 86, 77mulg0 19105 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) → (0(.g‘(mulGrp‘𝐾))((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
8884, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(.g‘(mulGrp‘𝐾))((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
89 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝐾) = (1r𝐾)
9081, 89ringidval 20201 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
9190eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (1r𝐾)
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (1r𝐾))
9388, 92eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0(.g‘(mulGrp‘𝐾))((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (1r𝐾))
9480, 93eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(0 𝑋))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (1r𝐾))
9576, 94eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(1r‘(Poly1𝐾)))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (1r𝐾))
9671, 95eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (1r𝐾))
9765, 96eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (1r𝐾))
9858, 97jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (1r𝐾)))
99 fzfid 14011 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
100 diffi 9214 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin → ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∈ Fin)
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∈ Fin)
10228adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
10335adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0)
104 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) → 𝑖 ∈ (0...𝐴))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑖 ∈ (0...𝐴))
106103, 105ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑌𝑖) ∈ ℕ0)
10725crngringd 20264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
108 ringcmn 20296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (Poly1𝐾) ∈ CMnd)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ CMnd)
110 cmnmnd 19830 . . . . . . . . . . . . 13 ((Poly1𝐾) ∈ CMnd → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
11350simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
1159adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐾 ∈ Ring)
116115, 11, 143syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
117105elfzelzd 13562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑖 ∈ ℤ)
118116, 117ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾))
1192, 51, 3, 4ply1sclcl 22305 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾)) → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
120115, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
1214, 54mndcl 18768 . . . . . . . . . . 11 (((Poly1𝐾) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
122112, 114, 120, 121syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
12322, 23, 102, 106, 122mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
124123ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
12522, 27, 101, 124gsummptcl 20000 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
126124r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
127126ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
1281, 2, 21, 3, 4, 81, 8, 20, 127, 101evl1gprodd 42099 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))))
129125, 128jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → (((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))))
130 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r‘(Poly1𝐾)) = (.r‘(Poly1𝐾))
13121, 130mgpplusg 20156 . . . . . . 7 (.r‘(Poly1𝐾)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
132131eqcomi 2744 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (.r‘(Poly1𝐾))
133 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝐾) = (.r𝐾)
1341, 2, 3, 4, 8, 20, 98, 129, 132, 133evl1muld 22363 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((1r𝐾)(.r𝐾)((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))))))
135134simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((1r𝐾)(.r𝐾)((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))))
136 fldidom 20788 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
1375, 136syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ IDomn)
138 isidom 20742 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ IDomn ↔ (𝐾 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ Domn))
139137, 138sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ Domn))
140139simprd 495 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Domn)
14190a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
14281ringmgp 20257 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd)
1439, 142syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd)
14482, 86mndidcl 18775 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐾))
145143, 144syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐾))
146141, 145eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1475flddrngd 20758 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
148 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g𝐾) = (0g𝐾)
149148, 89drngunz 20764 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ DivRing → (1r𝐾) ≠ (0g𝐾))
150147, 149syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐾) ≠ (0g𝐾))
151146, 150jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1r𝐾) ≠ (0g𝐾)))
15281crngmgp 20259 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ CRing → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
1538, 152syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
1548adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐾 ∈ CRing)
15520adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
1561, 2, 3, 4, 154, 155, 123fveval1fvcl 22353 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
157156ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})(((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
15882, 153, 101, 157gsummptcl 20000 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
15922a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
160122, 159eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
16122eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (Base‘(Poly1𝐾))
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (Base‘(Poly1𝐾)))
163160, 162eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
164 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
165163, 164jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))
1661, 2, 3, 4, 154, 155, 165, 23, 77, 106evl1expd 22365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((𝑌𝑖)(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))))
167166simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((𝑌𝑖)(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))
168137adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐾 ∈ IDomn)
1691, 2, 3, 4, 154, 155, 163fveval1fvcl 22353 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
170 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) → 𝑖𝑊)
171170adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑖𝑊)
1725adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐾 ∈ Field)
173 aks6d1p5.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑃 ∈ ℙ)
175 aks6d1c5.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (chr‘𝐾)
176 aks6d1c5.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
177176adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐴 ∈ ℕ0)
178 aks6d1c5.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝑃)
179178adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐴 < 𝑃)
180 aks6d1c5.8 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
18117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑊 ∈ (0...𝐴))
182172, 174, 175, 177, 179, 49, 23, 180, 105, 181aks6d1c5lem1 42118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑖 = 𝑊 ↔ (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0g𝐾)))
183182necon3bid 2983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑖𝑊 ↔ (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ≠ (0g𝐾)))
184171, 183mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ≠ (0g𝐾))
185168, 169, 184, 106, 77idomnnzpownz 42114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑌𝑖)(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))) ≠ (0g𝐾))
186167, 185eqnetrd 3006 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ≠ (0g𝐾))
18781, 137, 101, 156, 186idomnnzgmulnz 42115 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))) ≠ (0g𝐾))
188158, 187jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))) ≠ (0g𝐾)))
1893, 133, 148domnmuln0 20726 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Domn ∧ ((1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1r𝐾) ≠ (0g𝐾)) ∧ (((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))) ≠ (0g𝐾))) → ((1r𝐾)(.r𝐾)((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))) ≠ (0g𝐾))
190140, 151, 188, 189syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((1r𝐾)(.r𝐾)((mulGrp‘𝐾) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ (((eval1𝐾)‘((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))) ≠ (0g𝐾))
191135, 190eqnetrd 3006 . . 3 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ≠ (0g𝐾))
192191necomd 2994 . 2 (𝜑 → (0g𝐾) ≠ (((eval1𝐾)‘((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
19341leidd 11827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑊) ≤ (𝑌𝑊))
194 eqid 2735 . . . . . . . 8 (quot1p𝐾) = (quot1p𝐾)
1955, 173, 175, 176, 178, 49, 23, 180, 29, 17, 36, 193, 194, 51, 21aks6d1c5lem3 42119 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(quot1p𝐾)((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
196195eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = ((𝐺𝑌)(quot1p𝐾)((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
197 aks6d1c5p2.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝐺𝑍))
198197oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(quot1p𝐾)((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝐺𝑍)(quot1p𝐾)((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
199 aks6d1c5p2.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
200 elmapg 8878 . . . . . . . . . . . 12 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝐴) ∈ V) → (𝑍 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑍:(0...𝐴)⟶ℕ0))
20131, 32, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑍:(0...𝐴)⟶ℕ0))
202199, 201mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:(0...𝐴)⟶ℕ0)
203202, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍𝑊) ∈ ℕ0)
204203nn0red 12586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍𝑊) ∈ ℝ)
205 aks6d1c5p2.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑊) < (𝑍𝑊))
20641, 204, 205ltled 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝑊) ≤ (𝑍𝑊))
2075, 173, 175, 176, 178, 49, 23, 180, 199, 17, 36, 206, 194, 51, 21aks6d1c5lem3 42119 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑍)(quot1p𝐾)((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
208196, 198, 2073eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = ((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
209208fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))) = ((eval1𝐾)‘((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))))
210209fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
211203nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑊) ∈ ℤ)
212211, 37zsubcld 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ)
213204, 41resubcld 11689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℝ)
21441, 204posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌𝑊) < (𝑍𝑊) ↔ 0 < ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))))
215205, 214mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)))
21639, 213, 215ltled 11407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)))
217212, 216jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))))
218 elnn0z 12624 . . . . . . . . . 10 (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))))
219217, 218sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℕ0)
2201, 2, 3, 4, 8, 20, 56, 23, 77, 219evl1expd 22365 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
221220simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
222220simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))
223 rhmghm 20501 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring GrpHom 𝐾))
22412, 223syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring GrpHom 𝐾))
22519, 13eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 𝑊) ∈ (Base‘ℤring))
22618, 13eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘ℤring))
227 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
228 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘ℤring) = (+g‘ℤring)
229227, 228, 55ghmlin 19252 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring GrpHom 𝐾) ∧ (0 − 𝑊) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘ℤring)) → ((ℤRHom‘𝐾)‘((0 − 𝑊)(+g‘ℤring)𝑊)) = (((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))
230224, 225, 226, 229syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘((0 − 𝑊)(+g‘ℤring)𝑊)) = (((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))
231 zringplusg 21483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 + = (+g‘ℤring)
232231eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g‘ℤring) = +
233232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (+g‘ℤring) = + )
234233oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 − 𝑊)(+g‘ℤring)𝑊) = ((0 − 𝑊) + 𝑊))
235234fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘((0 − 𝑊)(+g‘ℤring)𝑊)) = ((ℤRHom‘𝐾)‘((0 − 𝑊) + 𝑊)))
236 0cnd 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23718zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
238236, 237npcand 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 − 𝑊) + 𝑊) = 0)
239238fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘((0 − 𝑊) + 𝑊)) = ((ℤRHom‘𝐾)‘0))
240235, 239eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘((0 − 𝑊)(+g‘ℤring)𝑊)) = ((ℤRHom‘𝐾)‘0))
24110, 148zrh0 21542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝐾)‘0) = (0g𝐾))
2429, 241syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘0) = (0g𝐾))
243240, 242eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘((0 − 𝑊)(+g‘ℤring)𝑊)) = (0g𝐾))
244230, 243eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) = (0g𝐾))
245244oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) = (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(0g𝐾)))
246219nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ)
247246, 215jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))))
248 elnnz 12621 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℕ ↔ (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))))
249247, 248sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) ∈ ℕ)
2509, 249, 77ringexp0nn 42116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(0g𝐾)) = (0g𝐾))
251245, 250eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) = (0g𝐾))
252222, 251eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0g𝐾))
253221, 252jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0g𝐾)))
254 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
255202adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑍:(0...𝐴)⟶ℕ0)
256255, 105ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑍𝑖) ∈ ℕ0)
257254, 23, 102, 256, 160mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
258257, 162eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
259258ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
26022, 27, 101, 259gsummptcl 20000 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
261 eqidd 2736 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))
262260, 261jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → (((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))
2631, 2, 3, 4, 8, 20, 253, 262, 132, 133evl1muld 22363 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((0g𝐾)(.r𝐾)(((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))))))
264263simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = ((0g𝐾)(.r𝐾)(((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))))
2651, 2, 3, 4, 8, 20, 260fveval1fvcl 22353 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
2663, 133, 148, 9, 265ringlzd 20309 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝐾)(.r𝐾)(((eval1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊)))) = (0g𝐾))
267264, 266eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((((𝑍𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑍𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0g𝐾))
268210, 267eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((((𝑌𝑊) − (𝑌𝑊)) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))‘((ℤRHom‘𝐾)‘(0 − 𝑊))) = (0g𝐾))
269192, 268neeqtrd 3008 1 (𝜑 → (0g𝐾) ≠ (0g𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cprime 16705  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  .gcmg 19098   GrpHom cghm 19243  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  chrcchr 21530  algSccascl 21890  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334  quot1pcq1p 26182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-drng 20748  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-chr 21534  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evl1 22336  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-uc1p 26186  df-q1p 26187
This theorem is referenced by:  aks6d1c5  42121
  Copyright terms: Public domain W3C validator