Theorem lgsqrmodndvds 27378

Description: If the Legendre symbol of an integer 𝐴 for an odd prime is 1, then the number is a quadratic residue mod 𝑃 with a solution 𝑥 of the congruence (𝑥↑2)≡𝐴 (mod 𝑃) which is not divisible by the prime. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrmodndvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrmodndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqrmod 27377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
2	1	imp 405	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3		eldifi 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmnn 16669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	ad3antlr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		zsqcl 14141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
8	7	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
9		simplll 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		moddvds 16261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
12	5	nnzd 12630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
13	12	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13, 8, 9	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
15	14	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
16		dvdssub2 16297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
17	15, 16	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
18	17	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
19		bicom 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)))
20	3	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
22		2nn 12330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
24		prmdvdsexp 16710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
26	25	biimparc 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∥ (𝑥↑2))
27		bianir 1056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → 𝑃 ∥ 𝐴)
28	5	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
29		dvdsmod0 16256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑃) = 0)
30	29	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
32		lgsprme0 27364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
33	3, 32	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
34		eqeq1 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ 0 = 1))
35		0ne1 12328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≠ 1
36		eqneqall 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
37	35, 36	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)
38	34, 37	biimtrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
39	33, 38	biimtrrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
40	39	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
41	40	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
42	31, 41	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
43	42	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
44	27, 43	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
45	44	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
47	26, 46	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
48	19, 47	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
49	18, 48	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
50	49	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∥ 𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
51		2a1 28	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
52	50, 51	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
53	11, 52	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
54	53	ancld 549	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
55	54	reximdva 3158	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
56	2, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
57	56	ex 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3945  {csn 4625   class class class wbr 5145  (class class class)co 7415  0cc0 11148  1c1 11149   − cmin 11484  ℕcn 12257  2c2 12312  ℤcz 12603   mod cmo 13882  ↑cexp 14074   ∥ cdvds 16250  ℙcprime 16666   /_L clgs 27319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-isom 6554  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8848  df-pm 8849  df-ixp 8918  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-fsupp 9398  df-sup 9477  df-inf 9478  df-oi 9545  df-dju 9936  df-card 9974  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-xnn0 12590  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-q 12978  df-rp 13022  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-fl 13805  df-mod 13883  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14342  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16251  df-gcd 16489  df-prm 16667  df-phi 16762  df-pc 16833  df-struct 17143  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-ress 17237  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-starv 17275  df-sca 17276  df-vsca 17277  df-ip 17278  df-tset 17279  df-ple 17280  df-ds 17282  df-unif 17283  df-hom 17284  df-cco 17285  df-0g 17450  df-gsum 17451  df-prds 17456  df-pws 17458  df-imas 17517  df-qus 17518  df-mre 17593  df-mrc 17594  df-acs 17596  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18767  df-submnd 18768  df-grp 18925  df-minusg 18926  df-sbg 18927  df-mulg 19057  df-subg 19112  df-nsg 19113  df-eqg 19114  df-ghm 19202  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-srg 20165  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-rhm 20449  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20548  df-rlreg 20667  df-domn 20668  df-idom 20669  df-drng 20704  df-field 20705  df-lmod 20833  df-lss 20904  df-lsp 20944  df-sra 21146  df-rgmod 21147  df-lidl 21192  df-rsp 21193  df-2idl 21234  df-cnfld 21339  df-zring 21432  df-zrh 21488  df-zn 21491  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21901  df-mvr 21902  df-mpl 21903  df-opsr 21905  df-evls 22082  df-evl 22083  df-psr1 22164  df-vr1 22165  df-ply1 22166  df-coe1 22167  df-evl1 22303  df-mdeg 26075  df-deg1 26076  df-mon1 26154  df-uc1p 26155  df-q1p 26156  df-r1p 26157  df-lgs 27320

This theorem is referenced by:  sfprmdvdsmersenne  47210