Theorem lgsqrmodndvds 27337

Description: If the Legendre symbol of an integer 𝐴 for an odd prime is 1, then the number is a quadratic residue mod 𝑃 with a solution 𝑥 of the congruence (𝑥↑2)≡𝐴 (mod 𝑃) which is not divisible by the prime. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrmodndvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrmodndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqrmod 27336	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
2	1	imp 408	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3		eldifi 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmnn 16638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	ad3antlr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		zsqcl 14086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
8	7	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
9		simplll 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		moddvds 16227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
12	5	nnzd 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
13	12	ad3antlr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13, 8, 9	3jca 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
15	14	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
16		dvdssub2 16265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
17	15, 16	sylan 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
18	17	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
19		bicom 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)))
20	3	ad3antlr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
22		2nn 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
24		prmdvdsexp 16680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
26	25	biimparc 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∥ (𝑥↑2))
27		bianir 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → 𝑃 ∥ 𝐴)
28	5	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
29		dvdsmod0 16222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑃) = 0)
30	29	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
32		lgsprme0 27323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
33	3, 32	sylan2 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
34		eqeq1 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ 0 = 1))
35		0ne1 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≠ 1
36		eqneqall 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
37	35, 36	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)
38	34, 37	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
39	33, 38	biimtrrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
40	39	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
41	40	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
42	31, 41	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
43	42	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
44	27, 43	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
45	44	ex 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
47	26, 46	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
48	19, 47	biimtrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
49	18, 48	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
50	49	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∥ 𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
51		2a1 28	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
52	50, 51	pm2.61i 183	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
53	11, 52	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
54	53	ancld 556	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
55	54	reximdva 3154	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
56	2, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
57	56	ex 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3881  {csn 4557   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  0cc0 11034  1c1 11035   − cmin 11373  ℕcn 12169  2c2 12231  ℤcz 12519   mod cmo 13823  ↑cexp 14018   ∥ cdvds 16216  ℙcprime 16635   /_L clgs 27278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113  ax-mulf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-prm 16636  df-phi 16731  df-pc 16803  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-eqg 19096  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-nzr 20488  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-rlreg 20669  df-domn 20670  df-idom 20671  df-drng 20706  df-field 20707  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-lidl 21204  df-rsp 21205  df-2idl 21246  df-cnfld 21351  df-zring 21425  df-zrh 21481  df-zn 21484  df-assa 21831  df-asp 21832  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-evls 22053  df-evl 22054  df-psr1 22168  df-vr1 22169  df-ply1 22170  df-coe1 22171  df-evl1 22305  df-mdeg 26041  df-deg1 26042  df-mon1 26117  df-uc1p 26118  df-q1p 26119  df-r1p 26120  df-lgs 27279

This theorem is referenced by:  sfprmdvdsmersenne  48093