Theorem lgsqrmodndvds 27405

Description: If the Legendre symbol of an integer 𝐴 for an odd prime is 1, then the number is a quadratic residue mod 𝑃 with a solution 𝑥 of the congruence (𝑥↑2)≡𝐴 (mod 𝑃) which is not divisible by the prime. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrmodndvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrmodndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqrmod 27404	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
2	1	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3		eldifi 4082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmnn 16699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	ad3antlr 741	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		zsqcl 14136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
9		simplll 784	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		moddvds 16288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
12	5	nnzd 12588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
13	12	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13, 8, 9	3jca 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
15	14	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
16		dvdssub2 16326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
17	15, 16	sylan 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
18	17	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
19		bicom 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)))
20	3	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
22		2nn 12285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
24		prmdvdsexp 16741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
26	25	biimparc 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∥ (𝑥↑2))
27		bianir 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → 𝑃 ∥ 𝐴)
28	5	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
29		dvdsmod0 16283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑃) = 0)
30	29	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
32		lgsprme0 27391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
33	3, 32	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
34		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ 0 = 1))
35		0ne1 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≠ 1
36		eqneqall 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
37	35, 36	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)
38	34, 37	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
39	33, 38	biimtrrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
40	39	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
41	40	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
42	31, 41	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
43	42	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
44	27, 43	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
45	44	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
47	26, 46	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ 𝐴 ↔ 𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
48	19, 47	biimtrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
49	18, 48	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
50	49	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∥ 𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
51		2a1 28	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
52	50, 51	pm2.61i 183	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
53	11, 52	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
54	53	ancld 558	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
55	54	reximdva 3174	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))
56	2, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
57	56	ex 416	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3899  {csn 4579   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   − cmin 11408  ℕcn 12204  2c2 12266  ℤcz 12562   mod cmo 13873  ↑cexp 14068   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16696   /_L clgs 27346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-prm 16697  df-phi 16792  df-pc 16864  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-imas 17529  df-qus 17530  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-nsg 19157  df-eqg 19158  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-srg 20224  df-ring 20272  df-cring 20273  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-dvr 20437  df-rhm 20508  df-nzr 20550  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-rlreg 20731  df-domn 20732  df-idom 20733  df-drng 20768  df-field 20769  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-lidl 21266  df-rsp 21267  df-2idl 21308  df-cnfld 21413  df-zring 21487  df-zrh 21543  df-zn 21546  df-assa 21893  df-asp 21894  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22230  df-vr1 22231  df-ply1 22232  df-coe1 22233  df-evl1 22367  df-mdeg 26103  df-deg1 26104  df-mon1 26179  df-uc1p 26180  df-q1p 26181  df-r1p 26182  df-lgs 27347

This theorem is referenced by:  sfprmdvdsmersenne  48173