MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrmodndvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrmodndvds 26704
Description: If the Legendre symbol of an integer 𝐴 for an odd prime is 1, then the number is a quadratic residue mod 𝑃 with a solution 𝑥 of the congruence (𝑥↑2)≡𝐴 (mod 𝑃) which is not divisible by the prime. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
lgsqrmodndvds ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrmodndvds
StepHypRef Expression
1 lgsqrmod 26703 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
21imp 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3 eldifi 4087 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4 prmnn 16551 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
65ad3antlr 730 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7 zsqcl 14035 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
87adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
9 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10 moddvds 16148 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
116, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
125nnzd 12527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
1312ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
1413, 8, 93jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
1514adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
16 dvdssub2 16184 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴))
1715, 16sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴))
1817ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴)))
19 bicom 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)))
203ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℙ)
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
22 2nn 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
24 prmdvdsexp 16592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝑥))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝑥))
2625biimparc 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∥ (𝑥↑2))
27 bianir 1058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → 𝑃𝐴)
285ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
29 dvdsmod0 16143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝐴) → (𝐴 mod 𝑃) = 0)
3029ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
32 lgsprme0 26690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
333, 32sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
34 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ 0 = 1))
35 0ne1 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≠ 1
36 eqneqall 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ 𝑃𝑥))
3735, 36mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = 1 → ¬ 𝑃𝑥)
3834, 37syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃𝑥))
3933, 38syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃𝑥)))
4039com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃𝑥)))
4140imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃𝑥))
4231, 41syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃𝐴 → ¬ 𝑃𝑥))
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃𝐴 → ¬ 𝑃𝑥))
4427, 43syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃𝑥))
4544ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃𝑥)))
4645com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃𝑥)))
4726, 46mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃𝑥))
4819, 47biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝑥))
4918, 48syld 47 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥))
5049ex 414 . . . . . . 7 (𝑃𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥)))
51 2a1 28 . . . . . . 7 𝑃𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥)))
5250, 51pm2.61i 182 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥))
5311, 52sylbid 239 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ¬ 𝑃𝑥))
5453ancld 552 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
5554reximdva 3166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
562, 55mpd 15 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥))
5756ex 414 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wrex 3074  cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053  cmin 11386  cn 12154  2c2 12209  cz 12500   mod cmo 13775  cexp 13968  cdvds 16137  cprime 16548   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-prds 17330  df-pws 17332  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-srg 19919  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-nzr 20731  df-rlreg 20756  df-domn 20757  df-idom 20758  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910  df-assa 21262  df-asp 21263  df-ascl 21264  df-psr 21314  df-mvr 21315  df-mpl 21316  df-opsr 21318  df-evls 21485  df-evl 21486  df-psr1 21554  df-vr1 21555  df-ply1 21556  df-coe1 21557  df-evl1 21685  df-mdeg 25420  df-deg1 25421  df-mon1 25498  df-uc1p 25499  df-q1p 25500  df-r1p 25501  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  sfprmdvdsmersenne  45802
  Copyright terms: Public domain W3C validator