Theorem edgusgrclnbfin 48495

Description: The size of the closed neighborhood of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrclnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrclnbfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbusgrf1o.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	dfclnbgr4 48477	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) = ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
3	2	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
5		clnbusgrf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	edgusgrnbfin 29663	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	6	anbi2d 641	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin) ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)))
8		unfib 9268	. . 3 ⊢ (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
9		snfi 9039	. . . 4 ⊢ {𝑈} ∈ Fin
10	9	biantrur 539	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
11	7, 8, 10	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
12	4, 11	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∪ cun 3911  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  Vtxcvtx 29286  Edgcedg 29337  USGraphcusgr 29439   NeighbVtx cnbgr 29622   ClNeighbVtx cclnbgr 48471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-edg 29338  df-upgr 29372  df-umgr 29373  df-uspgr 29440  df-usgr 29441  df-nbgr 29623  df-clnbgr 48472

This theorem is referenced by:  clnbusgrfi  48496