Theorem edgusgrclnbfin 48941

Description: The size of the closed neighborhood of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrclnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrclnbfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbusgrf1o.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	dfclnbgr4 48923	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) = ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
3	2	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
5		clnbusgrf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	edgusgrnbfin 29955	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	6	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin) ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)))
8		unfib 9302	. . 3 ⊢ (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
9		snfi 9072	. . . 4 ⊢ {𝑈} ∈ Fin
10	9	biantrur 540	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
11	7, 8, 10	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
12	4, 11	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ∪ cun 3897  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8974  Vtxcvtx 29575  Edgcedg 29626  USGraphcusgr 29731   NeighbVtx cnbgr 29914   ClNeighbVtx cclnbgr 48917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-hash 14476  df-edg 29627  df-upgr 29661  df-umgr 29662  df-uspgr 29732  df-usgr 29733  df-nbgr 29915  df-clnbgr 48918

This theorem is used by:  clnbusgrfi  48942