Theorem edgusgrclnbfin 48333

Description: The size of the closed neighborhood of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrclnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrclnbfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbusgrf1o.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	dfclnbgr4 48315	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) = ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
3	2	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
5		clnbusgrf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	edgusgrnbfin 29459	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	6	anbi2d 631	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin) ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)))
8		unfib 9213	. . 3 ⊢ (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
9		snfi 8984	. . . 4 ⊢ {𝑈} ∈ Fin
10	9	biantrur 530	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
11	7, 8, 10	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
12	4, 11	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∪ cun 3888  {csn 4568  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  Vtxcvtx 29082  Edgcedg 29133  USGraphcusgr 29235   NeighbVtx cnbgr 29418   ClNeighbVtx cclnbgr 48309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287  df-edg 29134  df-upgr 29168  df-umgr 29169  df-uspgr 29236  df-usgr 29237  df-nbgr 29419  df-clnbgr 48310

This theorem is referenced by:  clnbusgrfi  48334