Theorem edgusgrclnbfin 48667

Description: The size of the closed neighborhood of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by AV, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clnbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrclnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrclnbfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbusgrf1o.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	dfclnbgr4 48649	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) = ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
3	2	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin))
5		clnbusgrf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	edgusgrnbfin 29783	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	6	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin) ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)))
8		unfib 9276	. . 3 ⊢ (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
9		snfi 9047	. . . 4 ⊢ {𝑈} ∈ Fin
10	9	biantrur 540	. . 3 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ↔ ({𝑈} ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
11	7, 8, 10	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (({𝑈} ∪ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
12	4, 11	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ClNeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ∪ cun 3904  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  Vtxcvtx 29403  Edgcedg 29454  USGraphcusgr 29559   NeighbVtx cnbgr 29742   ClNeighbVtx cclnbgr 48643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-edg 29455  df-upgr 29489  df-umgr 29490  df-uspgr 29560  df-usgr 29561  df-nbgr 29743  df-clnbgr 48644

This theorem is used by:  clnbusgrfi  48668