Theorem elcgrabasrd 29376

Description: Helper theorem for the membership in the base set of the angle addition monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcgrabasrd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
elcgrabasrd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
elcgrabasrd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
elcgrabasrd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
elcgrabasrd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
elcgrabasrd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
elcgrabasrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
elcgrabasrd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑑   𝑋,𝑑   𝑌,𝑑   𝑍,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝑉(𝑑)

Proof of Theorem elcgrabasrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (𝑑‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0))
2		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (𝑑‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1))
3	1, 2	neeq12d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ↔ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1)))
4		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (𝑑‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))
5	2, 4	neeq12d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → ((𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2) ↔ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2)))
6	3, 5	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2)) ↔ ((⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ∧ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))))
7		elcgrabasrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
8		elcgrabasrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		elcgrabasrd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		elcgrabasrd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11	7, 8, 9, 10	s3rexrd 15102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
12		elcgrabasrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
13		s3fv0 15042	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
14	8, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
15		s3fv1 15043	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
16	9, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
17	12, 14, 16	3netr4d 3032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1))
18		elcgrabasrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
19		s3fv2 15044	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
20	10, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
21	18, 16, 20	3netr4d 3032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))
22	17, 21	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ∧ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2)))
23	6, 11, 22	elrabd 3646	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
24		elcgrabasrd.a	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
25	23, 24	eleqtrrdi 2871	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  0cc0 11200  1c1 11201  2c2 12397  3c3 12398  ..^cfzo 13788  ⟨“cs3 14993

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000

This theorem is used by:  angmgmaddov1  29388  angmgmaddov2  29389  angmgmaddcl  29391  angmgmlem  29395