Theorem elcgrabasrd 29249

Description: Helper theorem for the membership in the base set of the angle addition monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcgrabasrd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
elcgrabasrd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
elcgrabasrd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
elcgrabasrd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
elcgrabasrd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
elcgrabasrd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
elcgrabasrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
elcgrabasrd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑑   𝑋,𝑑   𝑌,𝑑   𝑍,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝑉(𝑑)

Proof of Theorem elcgrabasrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (𝑑‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0))
2		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (𝑑‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1))
3	1, 2	neeq12d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ↔ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1)))
4		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (𝑑‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))
5	2, 4	neeq12d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → ((𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2) ↔ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2)))
6	3, 5	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑑 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ → (((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2)) ↔ ((⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ∧ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))))
7		elcgrabasrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
8		elcgrabasrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		elcgrabasrd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		elcgrabasrd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11	7, 8, 9, 10	s3rexrd 15022	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
12		elcgrabasrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
13		s3fv0 14962	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
14	8, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
15		s3fv1 14963	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
16	9, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
17	12, 14, 16	3netr4d 3034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1))
18		elcgrabasrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
19		s3fv2 14964	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
20	10, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
21	18, 16, 20	3netr4d 3034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))
22	17, 21	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ∧ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) ≠ (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2)))
23	6, 11, 22	elrabd 3650	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
24		elcgrabasrd.a	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
25	23, 24	eleqtrrdi 2873	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11125  1c1 11126  2c2 12320  3c3 12321  ..^cfzo 13709  ⟨“cs3 14913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920

This theorem is used by:  angmndaddov1  29259  angmndaddov2  29260