Theorem angmgmaddov1 29322

Description: Value of the addition operation in the angle addition magma, in case the first angle is neither zero nor flat. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddov.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmgmaddov1.x	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
angmgmaddov1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
angmgmaddov1.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑍𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
angmgmaddov1.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑆) = (𝑉 − 𝑈))
angmgmaddov1.3	⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑆𝐼𝑋)) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
angmgmaddov1	⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ + ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) = ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩)

Distinct variable groups:   − ,𝑑,𝑠   ∼ ,𝑠   𝐺,𝑑,𝑠   𝐼,𝑑,𝑠   𝐿,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑃,𝑑,𝑠   𝑆,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑈,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑉,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑋,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑌,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑍,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝜑,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑑)   𝑃(𝑒, 𝑓)   + (𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑑)   ∼ (𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐺(𝑒, 𝑓)   𝐼(𝑒, 𝑓)   − (𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem angmgmaddov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmaddov.o	. . 3 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)))
3		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
4	3	fveq1d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0))
5		angmgmaddov.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		s3fv0 15010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
9	4, 8	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘0) = 𝑋)
10		angmgmaddov1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
12	3	fveq1d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1))
13		angmgmaddov.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14		s3fv1 15011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
17	12, 16	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘1) = 𝑌)
18	3	fveq1d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))
19		angmgmaddov.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
20		s3fv2 15012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
23	18, 22	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘2) = 𝑍)
24	17, 23	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) = (𝑌𝐿𝑍))
25	11, 24	neleqtrrd 2883	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)))
26	9, 25	eqneltrd 2880	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ¬ (𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)))
27	26	iffalsed 4492	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩) = ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)
28		angmgmaddov1.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑆 ∈ 𝑃)
30		angmgmadd.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
31		angmgmadd.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
32		angmgmadd.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
33		angmgmadd.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
34		angmgmadd.c	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
35		angmgmadd.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
36		angmgmadd.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
38		angmgmaddov.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
39	38	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑈 ∈ 𝑃)
40		angmgmaddov.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑉 ∈ 𝑃)
42		angmgmaddov.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑊 ∈ 𝑃)
44	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑋 ∈ 𝑃)
45	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑌 ∈ 𝑃)
46	17, 45	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘1) ∈ 𝑃)
47	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑍 ∈ 𝑃)
48	23, 47	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘2) ∈ 𝑃)
49		angmgmaddeu.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
50	49	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑈 ≠ 𝑉)
51		angmgmaddeu.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑉 ≠ 𝑊)
53		angmgmaddeu.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
54	53	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑋 ≠ 𝑌)
55	54, 17	neeqtrrd 3029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑋 ≠ (𝑒‘1))
56		angmgmaddeu.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑌 ≠ 𝑍)
58	17, 57	eqnetrd 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘1) ≠ 𝑍)
59	58, 23	neeqtrrd 3029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2))
60	30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 43, 44, 46, 48, 50, 52, 55, 59, 25	angmgmaddov1lem 29320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
61		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
62	61	breq2d 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ↔ ⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩))
63	61	fveq1d 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘1) = (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1))
64		s3fv1 15011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1) = 𝑉)
65	40, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1) = 𝑉)
66	65	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1) = 𝑉)
67	63, 66	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘1) = 𝑉)
68	61	fveq1d 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘0) = (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0))
69		s3fv0 15010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0) = 𝑈)
70	38, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0) = 𝑈)
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0) = 𝑈)
72	68, 71	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘0) = 𝑈)
73	67, 72	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) = (𝑉 − 𝑈))
74	73	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ↔ ((𝑒‘1) − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
75	9	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑠𝐼(𝑒‘0)) = (𝑠𝐼𝑋))
76	75	ineq2d 4165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) = (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼𝑋)))
77	76	neeq1d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅ ↔ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
78	62, 74, 77	3anbi123d 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅) ↔ (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)))
79	78	reubidv 3381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)))
80	60, 79	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))
81		angmgmaddov1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑍𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
82	81	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“𝑍𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
83		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑆 = 𝑆)
84	23, 17, 83	s3eqd 14983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑆”⟩ = ⟨“𝑍𝑌𝑆”⟩)
85	82, 84, 61	3brtr4d 5136	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑓)
86		angmgmaddov1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑆) = (𝑉 − 𝑈))
87	86	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑌 − 𝑆) = (𝑉 − 𝑈))
88	17	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑒‘1) − 𝑆) = (𝑌 − 𝑆))
89	87, 88, 73	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑒‘1) − 𝑆) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)))
90	9	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑆𝐼(𝑒‘0)) = (𝑆𝐼𝑋))
91	24, 90	ineq12d 4166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑆𝐼(𝑒‘0))) = ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑆𝐼𝑋)))
92		angmgmaddov1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑆𝐼𝑋)) ≠ ∅)
93	92	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑆𝐼𝑋)) ≠ ∅)
94	91, 93	eqnetrd 3022	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑆𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)
95		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑒‘2) = (𝑒‘2))
96		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑒‘1) = (𝑒‘1))
97		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → 𝑠 = 𝑆)
98	95, 96, 97	s3eqd 14983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ = ⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑆”⟩)
99	98	breq1d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ↔ ⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑓))
100		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − 𝑆))
101	100	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ↔ ((𝑒‘1) − 𝑆) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0))))
102		oveq1 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝐼(𝑒‘0)) = (𝑆𝐼(𝑒‘0)))
103	102	ineq2d 4165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) = (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑆𝐼(𝑒‘0))))
104	103	neeq1d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅ ↔ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑆𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))
105	99, 101, 104	3anbi123d 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅) ↔ (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑆) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑆𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)))
106	105	riota2 7390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)) → ((⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑆) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑆𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅) ↔ (℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)) = 𝑆))
107	106	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)) ∧ (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑆) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑆𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)) → (℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)) = 𝑆)
108	29, 80, 85, 89, 94, 107	syl23anc 1404	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅)) = 𝑆)
109	9, 17, 108	s3eqd 14983	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩ = ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩)
110	27, 109	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩) = ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩)
111	110	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)) → if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩) = ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩)
112	30	fvexi 6887	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
113	112	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
114	31, 113, 5, 13, 19, 53, 56	elcgrabasrd 29310	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ 𝐴)
115	31, 113, 38, 40, 42, 49, 51	elcgrabasrd 29310	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∈ 𝐴)
116	86	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑆))
117	49	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
118	30, 33, 32, 36, 40, 38, 13, 28, 116, 117	tgcgrneq 28879	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑆)
119	31, 113, 5, 13, 28, 53, 118	elcgrabasrd 29310	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∈ 𝐴)
120	2, 111, 114, 115, 119	ovmpod 7560	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ + ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) = ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃!wreu 3363  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3897  ∅c0 4278  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  ℩crio 7364  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑_m cmap 8825  0cc0 11172  1c1 11173  2c2 12367  3c3 12368  ..^cfzo 13757  ⟨“cs3 14961  Basecbs 17349  distcds 17399  TarskiGcstrkg 28823  Itvcitv 28829  LineGclng 28830  cgrAccgra 29248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-concat 14684  df-s1 14711  df-s2 14967  df-s3 14968  df-trkgc 28844  df-trkgb 28845  df-trkgcb 28846  df-trkgld 28848  df-trkg 28849  df-cgrg 28908  df-ismt 28930  df-leg 28980  df-hlg 28998  df-mir 29059  df-rag 29103  df-perpg 29105  df-hpg 29170  df-mid 29213  df-lmi 29214  df-cgra 29249

This theorem is used by:  angmgmaddcpbl  29324  angmgmaddcl  29325  angmgmaddrid  29327