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Theorem angmgmaddcl 29271

Description: Closure of the addition of angles. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑_m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmadd.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmgmaddcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
angmgmaddcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
angmgmaddcl	⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups: + ,𝑠 − ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 ∼ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 𝐴,𝑠 𝐸,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 𝐹,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 𝐺,𝑑,𝑠 𝐼,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 𝐿,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 𝜑,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑒, 𝑓, 𝑑) + (𝑒, 𝑓, 𝑑) 𝐺(𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem angmgmaddcl Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
2	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
3	2	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
4		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
5	3, 4	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → (𝐸 + 𝐹) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩))
6		angmgmadd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		angmgmadd.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑_m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
8		angmgmadd.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
9		angmgmadd.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		angmgmadd.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
11		angmgmadd.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
12		angmgmadd.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	13	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	14	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑢 ∈ 𝑃)
17		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑣 ∈ 𝑃)
18		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑤 ∈ 𝑃)
19		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
20	19	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑃)
21	20	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
22		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑃)
23	22	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
24		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
26	25	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
27		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑢 ≠ 𝑣)
28		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑣 ≠ 𝑤)
29		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
30		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑦 ≠ 𝑧)
31		angmgmadd.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
32		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
33		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
34		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
35		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))
36	6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 21, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	angmgmaddov2 29269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) = ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩)
37	5, 36	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → (𝐸 + 𝐹) = ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩)
38	6	fvexi 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑃 ∈ V)
40	35	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑡))
41	29	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑦 ≠ 𝑥)
42	6, 9, 8, 15, 23, 21, 17, 33, 40, 41	tgcgrneq 28825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → 𝑣 ≠ 𝑡)
43	7, 39, 16, 17, 33, 27, 42	elcgrabasrd 29256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → ⟨“𝑢𝑣𝑡”⟩ ∈ 𝐴)
44	37, 43	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
45	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46	45	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
47		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
48		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
49		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
50	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
51	50	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
52	22	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
53		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
54		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ≠ 𝑣)
55		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ≠ 𝑤)
56		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
57		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
58		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
59	6, 7, 8, 9, 10, 11, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	angmgmaddov2lem 29267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑥)))
60		reurex 3371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑥)) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑥)))
61	59, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑥)))
62		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑤 = 𝑤)
63		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑣 = 𝑣)
64		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑠 = 𝑡)
65	62, 63, 64	s3eqd 14937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ = ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩)
66	65	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ↔ ⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩))
67		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑣 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑡))
68	67	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑣 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑥) ↔ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)))
69	66, 68	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑥)) ↔ (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥))))
70	69	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑥)) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)))
71	61, 70	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑤𝑣𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑣 − 𝑡) = (𝑦 − 𝑥)))
72	44, 71	r19.29a 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
73	1	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
74		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
75	73, 74	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → (𝐸 + 𝐹) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩))
76	14	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
77	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
78		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
80		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
82		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
84	20	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
85	84	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
86	22	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
87	86	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
88		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
89	88	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
90		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑢 ≠ 𝑣)
91	90	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑢 ≠ 𝑣)
92		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑣 ≠ 𝑤)
93	92	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑣 ≠ 𝑤)
94		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
95	94	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
96		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
97	96	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
98		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
99	98	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
100		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
101		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
102		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢))
103		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)
104	6, 7, 8, 9, 10, 11, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 31, 99, 100, 101, 102, 103	angmgmaddov1 29268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ + ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) = ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩)
105	75, 104	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → (𝐸 + 𝐹) = ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩)
106	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑃 ∈ V)
107	102	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → (𝑣 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑡))
108	91	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑣 ≠ 𝑢)
109	6, 9, 8, 77, 81, 79, 87, 100, 107, 108	tgcgrneq 28825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → 𝑦 ≠ 𝑡)
110	7, 106, 85, 87, 100, 95, 109	elcgrabasrd 29256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → ⟨“𝑥𝑦𝑡”⟩ ∈ 𝐴)
111	105, 110	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
112	6, 7, 8, 9, 10, 11, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98	angmgmaddov1lem 29266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) ≠ ∅))
113		reurex 3371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) ≠ ∅))
114	112, 113	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) ≠ ∅))
115		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑧 = 𝑧)
116		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑦 = 𝑦)
117	115, 116, 64	s3eqd 14937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ = ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩)
118	117	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ↔ ⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩))
119		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑦 − 𝑠) = (𝑦 − 𝑡))
120	119	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑦 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑢) ↔ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢)))
121		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝐼𝑥) = (𝑡𝐼𝑥))
122	121	ineq2d 4169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) = ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)))
123	122	neeq1d 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) ≠ ∅ ↔ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅))
124	118, 120, 123	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) ≠ ∅) ↔ (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅)))
125	124	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑠) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑠𝐼𝑥)) ≠ ∅) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅))
126	114, 125	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (⟨“𝑧𝑦𝑡”⟩ ∼ ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑦 − 𝑡) = (𝑣 − 𝑢) ∧ ((𝑦𝐿𝑧) ∩ (𝑡𝐼𝑥)) ≠ ∅))
127	111, 126	r19.29a 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
128		exmidd 909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧)))
129	72, 127, 128	mpjaodan 973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
130	129	anasss 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
131	130	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
132	131	r19.29an 3168	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
133		angmgmaddcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
134	38, 7, 133	elcgrabasi 29255	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
135	134	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝐹 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
136	132, 135	r19.29vva 3224	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
137	136	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
138	137	anasss 472	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
139	138	r19.29an 3168	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)
140		angmgmaddcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
141	38, 7, 140	elcgrabasi 29255	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
142	139, 141	r19.29vva 3224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐹) ∈ 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2957 ∃wrex 3088 ∃!wreu 3365 {crab 3414 Vcvv 3453 ∩ cin 3901 ∅c0 4282 ifcif 4485 class class class wbr 5107 ‘cfv 6537 ℩crio 7372 (class class class)co 7416 ∈ cmpo 7418 ↑_m cmap 8829 0cc0 11127 1c1 11128 2c2 12322 3c3 12323 ..^cfzo 13711 ⟨“cs3 14915 Basecbs 17305 distcds 17355 TarskiGcstrkg 28769 Itvcitv 28775 LineGclng 28776 cgrAccgra 29194

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-rep 5236 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7739 ax-cnex 11183 ax-resscn 11184 ax-1cn 11185 ax-icn 11186 ax-addcl 11187 ax-addrcl 11188 ax-mulcl 11189 ax-mulrcl 11190 ax-mulcom 11191 ax-addass 11192 ax-mulass 11193 ax-distr 11194 ax-i2m1 11195 ax-1ne0 11196 ax-1rid 11197 ax-rnegex 11198 ax-rrecex 11199 ax-cnre 11200 ax-pre-lttri 11201 ax-pre-lttrn 11202 ax-pre-ltadd 11203 ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7866 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8458 df-oadd 8462 df-er 8699 df-map 8831 df-pm 8832 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-dju 9909 df-card 9947 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11470 df-neg 11471 df-nn 12261 df-2 12330 df-3 12331 df-n0 12532 df-xnn0 12605 df-z 12619 df-uz 12891 df-fz 13564 df-fzo 13712 df-hash 14397 df-word 14581 df-concat 14638 df-s1 14665 df-s2 14921 df-s3 14922 df-trkgc 28790 df-trkgb 28791 df-trkgcb 28792 df-trkgld 28794 df-trkg 28795 df-cgrg 28854 df-ismt 28876 df-leg 28926 df-hlg 28944 df-mir 29005 df-rag 29049 df-perpg 29051 df-hpg 29116 df-mid 29159 df-lmi 29160 df-cgra 29195

This theorem is used by: angmgmlem 29275

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