Theorem cgraer 29407

Description: The angle congruence relation is an equivalence relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgraer.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgraer.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
cgraer.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
cgraer.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)

Assertion

Ref	Expression
cgraer	⊢ (𝜑 → ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) Er 𝐴)

Distinct variable group:   𝑃,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑑)   ∼ (𝑑)   𝐺(𝑑)

Proof of Theorem cgraer

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relinxp 5797	. . 3 ⊢ Rel ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
3		brinxp2 5734	. . . . 5 ⊢ (𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓 ↔ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∼ 𝑓))
4	3	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) → ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∼ 𝑓))
5	4	simplrd 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) → 𝑓 ∈ 𝐴)
6	4	simplld 780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) → 𝑒 ∈ 𝐴)
7		cgraer.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
9	8	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → (cgrA‘𝐺) = ∼ )
10		cgraer.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
12		cgraer.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	13	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
16		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑃)
17	16	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑥 ∈ 𝑃)
18		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑃)
20		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑢 ∈ 𝑃)
21		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑣 ∈ 𝑃)
22		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑃)
23	4	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) → 𝑒 ∼ 𝑓)
24	23	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑒 ∼ 𝑓)
25	24	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑒 ∼ 𝑓)
26	8, 25	breqdi 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑒(cgrA‘𝐺)𝑓)
27		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
28		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
29	26, 27, 28	3brtr3d 5139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
30	10, 11, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 29	cgracom 29359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
31	9, 30	breqdi 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
32	31, 28, 27	3brtr4d 5140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑓 ∼ 𝑒)
33	32	anasss 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → 𝑓 ∼ 𝑒)
34	33	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → 𝑓 ∼ 𝑒)
35	34	r19.29an 3170	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → 𝑓 ∼ 𝑒)
36	10	fvexi 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
37		cgraer.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
38	5	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑓 ∈ 𝐴)
39	36, 37, 38	elcgrabasi 29405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
40	35, 39	r19.29vva 3226	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑓 ∼ 𝑒)
41	40	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑓 ∼ 𝑒)
42	41	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → 𝑓 ∼ 𝑒)
43	42	r19.29an 3170	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → 𝑓 ∼ 𝑒)
44	36, 37, 6	elcgrabasi 29405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
45	43, 44	r19.29vva 3226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) → 𝑓 ∼ 𝑒)
46		brinxp2 5734	. . 3 ⊢ (𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑒 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒))
47	5, 6, 45, 46	syl21anbrc 1363	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) → 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑒)
48	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) → 𝑒 ∈ 𝐴)
49	48	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑒 ∈ 𝐴)
50	49	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑒 ∈ 𝐴)
51	50	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑒 ∈ 𝐴)
52		brinxp2 5734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑔))
53	52	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔 → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑔))
54	53	simplrd 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔 → 𝑔 ∈ 𝐴)
55	54	ad7antlr 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑔 ∈ 𝐴)
56	55	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑔 ∈ 𝐴)
57	56	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑔 ∈ 𝐴)
58	7	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (cgrA‘𝐺) = ∼
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → (cgrA‘𝐺) = ∼ )
60	12	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
61	60	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
62	61	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝐺 ∈ TarskiG)
63		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑃)
64	63	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑥 ∈ 𝑃)
65	64	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑥 ∈ 𝑃)
66		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑦 ∈ 𝑃)
67	66	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑦 ∈ 𝑃)
68		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑃)
69	68	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑧 ∈ 𝑃)
70		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑢 ∈ 𝑃)
71	70	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑢 ∈ 𝑃)
72		simp-11r 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑣 ∈ 𝑃)
73		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑤 ∈ 𝑃)
74	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
75	23	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑒 ∼ 𝑓)
76	75	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑒 ∼ 𝑓)
77	76	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑒 ∼ 𝑓)
78	74, 77	breqdi 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑒(cgrA‘𝐺)𝑓)
79		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
80	79	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
81		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
82	78, 80, 81	3brtr3d 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
83		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑃)
84		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑗 ∈ 𝑃)
85		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑘 ∈ 𝑃)
86	53	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔 → 𝑓 ∼ 𝑔)
87	86	ad7antlr 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑓 ∼ 𝑔)
88	87	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑓 ∼ 𝑔)
89	88	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑓 ∼ 𝑔)
90	74, 89	breqdi 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑓(cgrA‘𝐺)𝑔)
91		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
92	90, 81, 91	3brtr3d 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
93	10, 11, 62, 15, 65, 67, 69, 71, 72, 73, 82, 83, 84, 85, 92	cgratr 29360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
94	59, 93	breqdi 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∼ ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩)
95	94, 80, 91	3brtr4d 5140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑒 ∼ 𝑔)
96		brinxp2 5734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔 ↔ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∼ 𝑔))
97	51, 57, 95, 96	syl21anbrc 1363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
98	97	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ 𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩) ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
99	98	anasss 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃) ∧ (𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘))) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
100	99	r19.29an 3170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑃 (𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘))) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
101	36, 37, 56	elcgrabasi 29405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∃𝑗 ∈ 𝑃 ∃𝑘 ∈ 𝑃 (𝑔 = ⟨“𝑖𝑗𝑘”⟩ ∧ (𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
102	100, 101	r19.29vva 3226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
103	102	anasss 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
104	103	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
105	104	r19.29an 3170	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤))) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
106	39	adantl6r 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
107	105, 106	r19.29vva 3226	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
108	107	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
109	108	anasss 472	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
110	109	r19.29an 3170	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
111	36, 37, 48	elcgrabasi 29405	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
112	110, 111	r19.29vva 3226	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓) ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
113	112	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑓 ∧ 𝑓( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑔)
114		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) → 𝑒 ∈ 𝐴)
115	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (cgrA‘𝐺) = ∼ )
116	12	ad7antr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
117		simp-6r 800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑃)
118		simp-5r 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑃)
119		simp-4r 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
120		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑥 ≠ 𝑦)
121		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ≠ 𝑧)
122	10, 11, 116, 15, 117, 118, 119, 120, 121	cgraid 29356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
123	115, 122	breqdi 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∼ ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
124		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
125	123, 124, 124	3brtr4d 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑒 ∼ 𝑒)
126	125	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑒 ∼ 𝑒)
127	126	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → 𝑒 ∼ 𝑒)
128	127	r19.29an 3170	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))) → 𝑒 ∼ 𝑒)
129	36, 37, 114	elcgrabasi 29405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
130	128, 129	r19.29vva 3226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) → 𝑒 ∼ 𝑒)
131		brinxp2 5734	. . . 4 ⊢ (𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑒 ↔ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∼ 𝑒))
132	114, 114, 130, 131	syl21anbrc 1363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) → 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑒)
133	131	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑒) → ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ∼ 𝑒))
134	133	simplld 780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐴)
135	132, 134	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐴 ↔ 𝑒( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑒))
136	2, 47, 113, 135	iserd 8772	1 ⊢ (𝜑 → ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) Er 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106   × cxp 5653  Rel wrel 5660  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   Er wer 8742   ↑_m cmap 8875  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  3c3 12425  ..^cfzo 13815  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  hlGchlg 29093  cgrAccgra 29344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-cgra 29345

This theorem is used by:  angmgmlem  29425