Theorem angmgmaddov2 29269

Description: Value of the addition operation in the angle addition magma, in case the first angle is zero or flat. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddov.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmgmaddov2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
angmgmaddov2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
angmgmaddov2.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑊𝑉𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
angmgmaddov2.2	⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑆) = (𝑌 − 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
angmgmaddov2	⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ + ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) = ⟨“𝑈𝑉𝑆”⟩)

Distinct variable groups:   − ,𝑠   ∼ ,𝑠   𝐺,𝑠   𝐼,𝑠   𝐿,𝑠   𝑃,𝑑   𝑃,𝑠   𝑆,𝑑   𝑆,𝑒,𝑓,𝑠   𝑈,𝑑   𝑈,𝑒,𝑓,𝑠   𝑉,𝑑   𝑒,𝑉,𝑓,𝑠   𝑊,𝑑   𝑒,𝑊,𝑓,𝑠   𝑋,𝑑   𝑒,𝑋,𝑓,𝑠   𝑌,𝑑   𝑒,𝑌,𝑓,𝑠   𝑍,𝑑   𝑒,𝑍,𝑓,𝑠   𝜑,𝑒,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑑)   𝑃(𝑒, 𝑓)   + (𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑑)   ∼ (𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐺(𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐼(𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐿(𝑒, 𝑓, 𝑑)   − (𝑒, 𝑓, 𝑑)

Proof of Theorem angmgmaddov2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmaddov.o	. . 3 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)))
3		angmgmaddov2.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
4	3	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
5		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
6	5	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0))
7		angmgmaddov.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		s3fv0 14964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘0) = 𝑋)
11	6, 10	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘0) = 𝑋)
12	5	fveq1d 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1))
13		angmgmaddov.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14		s3fv1 14965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘1) = 𝑌)
17	12, 16	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘1) = 𝑌)
18	5	fveq1d 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2))
19		angmgmaddov.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
20		s3fv2 14966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩‘2) = 𝑍)
23	18, 22	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘2) = 𝑍)
24	17, 23	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) = (𝑌𝐿𝑍))
25	4, 11, 24	3eltr4d 2877	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)))
26	25	iftrued 4493	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩) = ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩)
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
28	27	fveq1d 6884	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘0) = (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0))
29		angmgmaddov.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
30		s3fv0 14964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0) = 𝑈)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0) = 𝑈)
32	31	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘0) = 𝑈)
33	28, 32	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘0) = 𝑈)
34	27	fveq1d 6884	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘1) = (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1))
35		angmgmaddov.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
36		s3fv1 14965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1) = 𝑉)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1) = 𝑉)
38	37	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘1) = 𝑉)
39	34, 38	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘1) = 𝑉)
40		angmgmaddov2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑆 ∈ 𝑃)
42		angmgmadd.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
43		angmgmadd.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
44		angmgmadd.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
45		angmgmadd.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
46		angmgmadd.c	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
47		angmgmadd.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
48		angmgmadd.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50		angmgmaddov.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑊 ∈ 𝑃)
52	35	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑉 ∈ 𝑃)
53	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑋 ∈ 𝑃)
54	13	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑌 ∈ 𝑃)
55	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑍 ∈ 𝑃)
56		angmgmaddeu.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
57	56	necomd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑉)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑊 ≠ 𝑉)
59	56	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑉 ≠ 𝑊)
60		angmgmaddeu.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
61	60	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑋 ≠ 𝑌)
62		angmgmaddeu.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
63	62	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑌 ≠ 𝑍)
64	42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52, 51, 53, 54, 55, 58, 59, 61, 63, 4	angmgmaddov2lem 29267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
65	27	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘2) = (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘2))
66		s3fv2 14966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘2) = 𝑊)
67	50, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘2) = 𝑊)
68	67	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩‘2) = 𝑊)
69	65, 68	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑓‘2) = 𝑊)
70		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑠 = 𝑠)
71	69, 39, 70	s3eqd 14937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ = ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩)
72	71, 5	breq12d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ↔ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩))
73	39	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑓‘1) − 𝑠) = (𝑉 − 𝑠))
74	17, 11	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)) = (𝑌 − 𝑋))
75	73, 74	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)) ↔ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
76	72, 75	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))) ↔ (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))))
77	76	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ↔ (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))))
78	77	reubidv 3383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))))
79	64, 78	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))
80		angmgmaddov2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑊𝑉𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“𝑊𝑉𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
82		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → 𝑆 = 𝑆)
83	69, 39, 82	s3eqd 14937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑆”⟩ = ⟨“𝑊𝑉𝑆”⟩)
84	81, 83, 5	3brtr4d 5141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑒)
85		angmgmaddov2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑆) = (𝑌 − 𝑋))
86	85	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (𝑉 − 𝑆) = (𝑌 − 𝑋))
87	39	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑓‘1) − 𝑆) = (𝑉 − 𝑆))
88	86, 87, 74	3eqtr4d 2807	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ((𝑓‘1) − 𝑆) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))
89		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑓‘2) = (𝑓‘2))
90		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑓‘1) = (𝑓‘1))
91		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → 𝑠 = 𝑆)
92	89, 90, 91	s3eqd 14937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ = ⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑆”⟩)
93	92	breq1d 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ↔ ⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑒))
94		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − 𝑆))
95	94	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑆) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))
96	93, 95	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))) ↔ (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑆) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))))
97	96	riota2 7398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))) → ((⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑆) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))) ↔ (℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))) = 𝑆))
98	97	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))) ∧ (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑆”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑆) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))) → (℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))) = 𝑆)
99	41, 79, 84, 88, 98	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → (℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0)))) = 𝑆)
100	33, 39, 99	s3eqd 14937	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩ = ⟨“𝑈𝑉𝑆”⟩)
101	26, 100	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) → if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩) = ⟨“𝑈𝑉𝑆”⟩)
102	101	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 = ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)) → if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩) = ⟨“𝑈𝑉𝑆”⟩)
103	42	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
104	103	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
105	43, 104, 7, 13, 19, 60, 62	elcgrabasrd 29256	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∈ 𝐴)
106		angmgmaddeu.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
107	43, 104, 29, 35, 50, 106, 56	elcgrabasrd 29256	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∈ 𝐴)
108	85	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) = (𝑉 − 𝑆))
109	60	necomd 3012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
110	42, 45, 44, 48, 13, 7, 35, 40, 108, 109	tgcgrneq 28825	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑆)
111	43, 104, 29, 35, 40, 106, 110	elcgrabasrd 29256	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑉𝑆”⟩ ∈ 𝐴)
112	2, 102, 105, 107, 111	ovmpod 7568	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ + ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) = ⟨“𝑈𝑉𝑆”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃!wreu 3365  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8829  0cc0 11127  1c1 11128  2c2 12322  3c3 12323  ..^cfzo 13711  ⟨“cs3 14915  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  LineGclng 28776  cgrAccgra 29194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkg 28795  df-cgrg 28854  df-leg 28926  df-hlg 28944  df-cgra 29195

This theorem is used by:  angmgmaddcpbl  29270  angmgmaddcl  29271  angmgmaddlid  29272  angmgmaddrid  29273