Theorem elcgrabasi 29286

Description: Helper theorem for the membership in the base set of the angle addition monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcgrabasi.1	⊢ 𝑃 ∈ V
elcgrabasi.2	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
elcgrabasi.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elcgrabasi	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝐸,𝑑   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑃,𝑑   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑑)   𝐴(𝑧, 𝑑)

Proof of Theorem elcgrabasi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑥 = (𝐸‘0))
2		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑦 = 𝑦)
3		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑧 = 𝑧)
4	1, 2, 3	s3eqd 14960	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩)
5	4	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩))
6	1	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (𝐸‘0) ≠ 𝑦))
7	6	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
8	5, 7	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ((𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))))
9		s3eq2 14966	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩)
10	9	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩))
11		neeq2 3018	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
12		neeq1 3017	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ (𝐸‘1) ≠ 𝑧))
13	11, 12	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧)))
14	10, 13	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ((𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧))))
15		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸‘0) = (𝐸‘0))
16		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸‘1) = (𝐸‘1))
17		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → 𝑧 = (𝐸‘2))
18	15, 16, 17	s3eqd 14960	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
19	18	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩))
20		biidd 265	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
21	17	neeq2d 3015	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸‘1) ≠ 𝑧 ↔ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
22	20, 21	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
23	19, 22	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))))
24		fzo0to3tp 13833	. . . . 5 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^3) = {0, 1, 2})
26		elcgrabasi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
27	26	ssrab3 4030	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3))
28		elcgrabasi.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
29	27, 28	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
30	29	elmaprd 8856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^3)⟶𝑃)
31	25, 30	feq2dd 6691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:{0, 1, 2}⟶𝑃)
32		c0ex 11249	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
33	32	tpid1 4729	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
35	31, 34	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ∈ 𝑃)
36		1eltp012 12360	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
38	31, 37	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘1) ∈ 𝑃)
39		2ex 12367	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
40	39	tpid3 4734	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
42	31, 41	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘2) ∈ 𝑃)
43		iswrdi 14607	. . . . 5 ⊢ (𝐸:(0..^3)⟶𝑃 → 𝐸 ∈ Word 𝑃)
44	30, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑃)
45	30	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (0..^3))
46		hashfn 14464	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn (0..^3) → (♯‘𝐸) = (♯‘(0..^3)))
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘(0..^3)))
48		3nn0 12571	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
49		hashfzo0 14520	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
51	47, 50	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = 3)
52		wrdlen3s3 15045	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝐸) = 3) → 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
53	44, 51, 52	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
54		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘0) = (𝐸‘0))
55		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘1) = (𝐸‘1))
56	54, 55	neeq12d 3016	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
57		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘2) = (𝐸‘2))
58	55, 57	neeq12d 3016	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → ((𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2) ↔ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
59	56, 58	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2)) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
60	26	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐴 ↔ 𝐸 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
61	28, 60	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
62	59, 61	elrabrd 3648	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
63	53, 62	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
64	8, 14, 23, 35, 38, 42, 63	3rspcedvdw 3594	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450  {ctp 4588   Fn wfn 6530  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8833  0cc0 11149  1c1 11150  2c2 12344  3c3 12345  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13734  ♯chash 14419  Word cword 14603  ⟨“cs3 14938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-hash 14420  df-word 14604  df-concat 14661  df-s1 14688  df-s2 14944  df-s3 14945

This theorem is used by:  cgraer  29288  cgrabasimass  29289  angmgmaddcpbl  29301  angmgmaddcl  29302  angmgmaddlid  29303  angmgmaddrid  29304