Theorem elcgrabasi 29248

Description: Helper theorem for the membership in the base set of the angle addition monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcgrabasi.1	⊢ 𝑃 ∈ V
elcgrabasi.2	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
elcgrabasi.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elcgrabasi	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝐸,𝑑   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑃,𝑑   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑑)   𝐴(𝑧, 𝑑)

Proof of Theorem elcgrabasi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑥 = (𝐸‘0))
2		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑦 = 𝑦)
3		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑧 = 𝑧)
4	1, 2, 3	s3eqd 14935	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩)
5	4	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩))
6	1	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (𝐸‘0) ≠ 𝑦))
7	6	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
8	5, 7	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ((𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))))
9		s3eq2 14941	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩)
10	9	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩))
11		neeq2 3020	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
12		neeq1 3019	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ (𝐸‘1) ≠ 𝑧))
13	11, 12	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧)))
14	10, 13	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ((𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧))))
15		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸‘0) = (𝐸‘0))
16		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸‘1) = (𝐸‘1))
17		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → 𝑧 = (𝐸‘2))
18	15, 16, 17	s3eqd 14935	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
19	18	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩))
20		biidd 265	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
21	17	neeq2d 3017	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸‘1) ≠ 𝑧 ↔ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
22	20, 21	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
23	19, 22	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))))
24		fzo0to3tp 13808	. . . . 5 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^3) = {0, 1, 2})
26		elcgrabasi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
27	26	ssrab3 4033	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3))
28		elcgrabasi.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
29	27, 28	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
30	29	elmaprd 8852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^3)⟶𝑃)
31	25, 30	feq2dd 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:{0, 1, 2}⟶𝑃)
32		c0ex 11225	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
33	32	tpid1 4732	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
35	31, 34	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ∈ 𝑃)
36		1eltp012 12336	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
38	31, 37	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘1) ∈ 𝑃)
39		2ex 12343	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
40	39	tpid3 4737	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
42	31, 41	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘2) ∈ 𝑃)
43		iswrdi 14582	. . . . 5 ⊢ (𝐸:(0..^3)⟶𝑃 → 𝐸 ∈ Word 𝑃)
44	30, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑃)
45	30	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (0..^3))
46		hashfn 14439	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn (0..^3) → (♯‘𝐸) = (♯‘(0..^3)))
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘(0..^3)))
48		3nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
49		hashfzo0 14495	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
51	47, 50	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = 3)
52		wrdlen3s3 15020	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝐸) = 3) → 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
53	44, 51, 52	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
54		fveq1 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘0) = (𝐸‘0))
55		fveq1 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘1) = (𝐸‘1))
56	54, 55	neeq12d 3018	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
57		fveq1 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘2) = (𝐸‘2))
58	55, 57	neeq12d 3018	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → ((𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2) ↔ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
59	56, 58	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2)) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
60	26	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐴 ↔ 𝐸 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
61	28, 60	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
62	59, 61	elrabrd 3651	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
63	53, 62	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
64	8, 14, 23, 35, 38, 42, 63	3rspcedvdw 3597	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453  {ctp 4591   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11125  1c1 11126  2c2 12320  3c3 12321  ℕ₀cn0 12529  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578  ⟨“cs3 14913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920

This theorem is used by:  angmndaddcpbl  29261