Theorem elcgrabasi 29402

Description: Helper theorem for the membership in the base set of the angle addition monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcgrabasi.1	⊢ 𝑃 ∈ V
elcgrabasi.2	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
elcgrabasi.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elcgrabasi	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝐸,𝑑   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑃,𝑑   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑑)   𝐴(𝑧, 𝑑)

Proof of Theorem elcgrabasi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑥 = (𝐸‘0))
2		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑦 = 𝑦)
3		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → 𝑧 = 𝑧)
4	1, 2, 3	s3eqd 15040	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩)
5	4	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩))
6	1	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (𝐸‘0) ≠ 𝑦))
7	6	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
8	5, 7	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘0) → ((𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))))
9		s3eq2 15046	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩)
10	9	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩))
11		neeq2 3022	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
12		neeq1 3021	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ (𝐸‘1) ≠ 𝑧))
13	11, 12	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → (((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧)))
14	10, 13	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘1) → ((𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)𝑦𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧))))
15		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸‘0) = (𝐸‘0))
16		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸‘1) = (𝐸‘1))
17		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → 𝑧 = (𝐸‘2))
18	15, 16, 17	s3eqd 15040	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
19	18	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ↔ 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩))
20		biidd 265	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
21	17	neeq2d 3019	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸‘1) ≠ 𝑧 ↔ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
22	20, 21	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → (((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
23	19, 22	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑧 = (𝐸‘2) → ((𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)𝑧”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ 𝑧)) ↔ (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))))
24		fzo0to3tp 13911	. . . . 5 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^3) = {0, 1, 2})
26		elcgrabasi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
27	26	ssrab3 4010	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3))
28		elcgrabasi.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
29	27, 28	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
30	29	elmaprd 8895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^3)⟶𝑃)
31	25, 30	feq2dd 6714	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:{0, 1, 2}⟶𝑃)
32		c0ex 11324	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
33	32	tpid1 4729	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
35	31, 34	ffvelcdmd 7106	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ∈ 𝑃)
36		1eltp012 12437	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
38	31, 37	ffvelcdmd 7106	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘1) ∈ 𝑃)
39		2ex 12444	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
40	39	tpid3 4734	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
42	31, 41	ffvelcdmd 7106	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘2) ∈ 𝑃)
43		iswrdi 14686	. . . . 5 ⊢ (𝐸:(0..^3)⟶𝑃 → 𝐸 ∈ Word 𝑃)
44	30, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑃)
45	30	ffnd 6729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (0..^3))
46		hashfn 14543	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn (0..^3) → (♯‘𝐸) = (♯‘(0..^3)))
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘(0..^3)))
48		3nn0 12648	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
49		hashfzo0 14599	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
51	47, 50	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = 3)
52		wrdlen3s3 15126	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝐸) = 3) → 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
53	44, 51, 52	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩)
54		fveq1 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘0) = (𝐸‘0))
55		fveq1 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘1) = (𝐸‘1))
56	54, 55	neeq12d 3020	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ↔ (𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1)))
57		fveq1 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (𝑑‘2) = (𝐸‘2))
58	55, 57	neeq12d 3020	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → ((𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2) ↔ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
59	56, 58	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐸 → (((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2)) ↔ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
60	26	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐴 ↔ 𝐸 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
61	28, 60	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
62	59, 61	elrabrd 3651	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2)))
63	53, 62	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = ⟨“(𝐸‘0)(𝐸‘1)(𝐸‘2)”⟩ ∧ ((𝐸‘0) ≠ (𝐸‘1) ∧ (𝐸‘1) ≠ (𝐸‘2))))
64	8, 14, 23, 35, 38, 42, 63	3rspcedvdw 3597	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐸 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454  {ctp 4592   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  0cc0 11224  1c1 11225  2c2 12421  3c3 12422  ℕ₀cn0 12630  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Word cword 14682  ⟨“cs3 15018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025

This theorem is used by:  cgraer  29404  cgrabasimass  29405  angmgmaddcpbl  29417  angmgmaddcl  29418  angmgmaddlid  29419  angmgmaddrid  29420