Theorem angmgmlem 29396

Description: Lemma for angmgm 29398. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmval.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmval.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmval.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmgmval.j	⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
angmgmlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
angmgmlem	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐺,𝑓,𝑠   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   + ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   − ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   ∼ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐴,𝑑   𝐺,𝑑   𝐼,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐽,𝑓   𝐿,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑋,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑌,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝜑,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑠, 𝑑)

Proof of Theorem angmgmlem

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑏 𝑖 𝑗 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmlem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		angmgmval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		angmgmval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
4		angmgmval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		angmgmval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		angmgmval.c	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
7		angmgmval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		angmgmval.o	. . . . . 6 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
9		angmgmval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (≤∠‘𝐺) = (≤∠‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	angmgmval 29395	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
12	1, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
13		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
14	3, 13	rabex2 5301	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		1nn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		basendx 17397	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17		1lt2 12516	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
18		2nn 12417	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19		plusgndx 17455	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) = 2
20		2lt10 12959	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
21		10nn 12835	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
22		plendx 17538	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
23	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	strle3 17339	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} Struct ⟨1, ;10⟩
24		baseid 17391	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
25		snsstp1 4776	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
26	23, 24, 25	strfv 17382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
27	14, 26	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
28	6	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ ∼ ∈ V
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
30		tpex 7762	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V)
32	2, 3, 6, 1	cgrabasimass 29379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	12, 27, 29, 31, 32	qusin 17717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
34	14, 14	mpoex 8092	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)) ∈ V
35	8, 34	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ + ∈ V
36		plusgid 17456	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
37		snsstp2 4777	. . . . 5 ⊢ {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
38	23, 36, 37	strfv 17382	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
39	35, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩})
40	2, 3, 6, 1	cgraer 29378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) Er 𝐴)
41	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42		brinxp2 5728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 ↔ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
43	42	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
44	43	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
45	44	simplld 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑎 ∈ 𝐴)
46		brinxp2 5728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞 ↔ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∼ 𝑞))
47	46	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∼ 𝑞))
48	47	simplld 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑏 ∈ 𝐴)
49	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 45, 48	angmgmaddcl 29392	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐴)
50	44	simplrd 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	47	simplrd 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑞 ∈ 𝐴)
52	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 50, 51	angmgmaddcl 29392	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐴)
53	44	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑎 ∼ 𝑝)
54	47	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑏 ∼ 𝑞)
55	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 50, 51, 45, 48, 53, 54	angmgmaddcpbl 29391	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞))
56		brinxp2 5728	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞) ↔ (((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
57	49, 52, 55, 56	syl21anbrc 1363	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞))
58	57	expl 463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞)))
59	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
61		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
62	2, 3, 4, 5, 6, 7, 59, 8, 60, 61	angmgmaddcl 29392	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 + 𝑗) ∈ 𝐴)
63	2	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
65		angmgmlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
66		angmgmlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
67	66	eldifad 4051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
68	66	eldifsnbd 4748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
69	68	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
70	3, 64, 65, 67, 65, 69, 68	elcgrabasrd 29377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴)
71	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	70	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴)
73		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
74	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 72, 73	angmgmaddcl 29392	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∈ 𝐴)
75	65	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
76	66	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
77	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 75, 76, 73	angmgmaddlid 29393	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∼ 𝑖)
78		brinxp2 5728	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖 ↔ (((⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∈ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∼ 𝑖))
79	74, 73, 77, 78	syl21anbrc 1363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖)
80	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 73, 72	angmgmaddcl 29392	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∈ 𝐴)
81	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 75, 76, 73	angmgmaddrid 29394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∼ 𝑖)
82		brinxp2 5728	. . . 4 ⊢ ((𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖 ↔ (((𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∈ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∼ 𝑖))
83	80, 73, 81, 82	syl21anbrc 1363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖)
84	33, 27, 39, 40, 31, 58, 62, 70, 79, 83	qusmgm 18865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽)))
85		ecinxp 8814	. . . . 5 ⊢ ((( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴) → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
86	32, 70, 85	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
87	86	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽) ↔ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽)))
88	87	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)) ↔ (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽))))
89	84, 88	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583  {ctp 4587  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   × cxp 5648   “ cima 5653  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  [cec 8716   ↑_m cmap 8848  0cc0 11201  1c1 11202  2c2 12398  3c3 12399  ;cdc 12815  ..^cfzo 13789  ⟨“cs3 14994  ndxcnx 17372  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  lecple 17436  distcds 17438  0_gc0g 17611   /_s cqus 17678  Mgmcmgm 18815  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  LineGclng 28897  cgrAccgra 29315  ≤_∠cleag 29356  AngMgmcangmgm 29374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-0g 17613  df-imas 17681  df-qus 17682  df-mgm 18817  df-trkgc 28911  df-trkgb 28912  df-trkgcb 28913  df-trkgld 28915  df-trkg 28916  df-cgrg 28975  df-ismt 28997  df-leg 29047  df-hlg 29065  df-mir 29126  df-rag 29170  df-perpg 29172  df-hpg 29237  df-mid 29280  df-lmi 29281  df-cgra 29316  df-angmgm 29375

This theorem is used by:  angmgm0g  29397  angmgm  29398