Theorem angmgmlem 29275

Description: Lemma for angmgm 29277. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmval.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmval.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmval.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmgmval.j	⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
angmgmlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
angmgmlem	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐺,𝑓,𝑠   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   + ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   − ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   ∼ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐴,𝑑   𝐺,𝑑   𝐼,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐽,𝑓   𝐿,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑋,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑌,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝜑,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑠, 𝑑)

Proof of Theorem angmgmlem

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑏 𝑖 𝑗 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmlem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		angmgmval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		angmgmval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
4		angmgmval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		angmgmval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		angmgmval.c	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
7		angmgmval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		angmgmval.o	. . . . . 6 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
9		angmgmval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (≤∠‘𝐺) = (≤∠‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	angmgmval 29274	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
12	1, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
13		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
14	3, 13	rabex2 5309	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		1nn 12271	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		basendx 17314	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17		1lt2 12440	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
18		2nn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19		plusgndx 17372	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) = 2
20		2lt10 12883	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
21		10nn 12759	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
22		plendx 17455	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
23	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	strle3 17256	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} Struct ⟨1, ;10⟩
24		baseid 17308	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
25		snsstp1 4780	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
26	23, 24, 25	strfv 17299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
27	14, 26	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
28	6	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ ∼ ∈ V
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
30		tpex 7750	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V)
32	2, 3, 6, 1	cgrabasimass 29258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	12, 27, 29, 31, 32	qusin 17634	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
34	14, 14	mpoex 8081	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)) ∈ V
35	8, 34	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ + ∈ V
36		plusgid 17373	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
37		snsstp2 4781	. . . . 5 ⊢ {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
38	23, 36, 37	strfv 17299	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
39	35, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩})
40	2, 3, 6, 1	cgraer 29257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) Er 𝐴)
41	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42		brinxp2 5737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 ↔ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
43	42	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
44	43	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
45	44	simplld 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑎 ∈ 𝐴)
46		brinxp2 5737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞 ↔ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∼ 𝑞))
47	46	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∼ 𝑞))
48	47	simplld 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑏 ∈ 𝐴)
49	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 45, 48	angmgmaddcl 29271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐴)
50	44	simplrd 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	47	simplrd 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑞 ∈ 𝐴)
52	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 50, 51	angmgmaddcl 29271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐴)
53	44	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑎 ∼ 𝑝)
54	47	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑏 ∼ 𝑞)
55	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 50, 51, 45, 48, 53, 54	angmgmaddcpbl 29270	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞))
56		brinxp2 5737	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞) ↔ (((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
57	49, 52, 55, 56	syl21anbrc 1363	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞))
58	57	expl 463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞)))
59	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
61		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
62	2, 3, 4, 5, 6, 7, 59, 8, 60, 61	angmgmaddcl 29271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 + 𝑗) ∈ 𝐴)
63	2	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
65		angmgmlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
66		angmgmlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
67	66	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
68	66	eldifsnbd 4752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
69	68	necomd 3012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
70	3, 64, 65, 67, 65, 69, 68	elcgrabasrd 29256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴)
71	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	70	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴)
73		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
74	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 72, 73	angmgmaddcl 29271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∈ 𝐴)
75	65	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
76	66	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
77	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 75, 76, 73	angmgmaddlid 29272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∼ 𝑖)
78		brinxp2 5737	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖 ↔ (((⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∈ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∼ 𝑖))
79	74, 73, 77, 78	syl21anbrc 1363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖)
80	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 73, 72	angmgmaddcl 29271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∈ 𝐴)
81	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 75, 76, 73	angmgmaddrid 29273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∼ 𝑖)
82		brinxp2 5737	. . . 4 ⊢ ((𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖 ↔ (((𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∈ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∼ 𝑖))
83	80, 73, 81, 82	syl21anbrc 1363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖)
84	33, 27, 39, 40, 31, 58, 62, 70, 79, 83	qusmgm 18781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽)))
85		ecinxp 8795	. . . . 5 ⊢ ((( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴) → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
86	32, 70, 85	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
87	86	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽) ↔ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽)))
88	87	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)) ↔ (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽))))
89	84, 88	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ifcif 4485  {csn 4587  {ctp 4591  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   × cxp 5657   “ cima 5662  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  [cec 8697   ↑_m cmap 8829  0cc0 11127  1c1 11128  2c2 12322  3c3 12323  ;cdc 12739  ..^cfzo 13711  ⟨“cs3 14915  ndxcnx 17289  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  lecple 17353  distcds 17355  0_gc0g 17528   /_s cqus 17595  Mgmcmgm 18732  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  LineGclng 28776  cgrAccgra 29194  ≤_∠cleag 29235  AngMgmcangmgm 29253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-0g 17530  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mgm 18734  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkgld 28794  df-trkg 28795  df-cgrg 28854  df-ismt 28876  df-leg 28926  df-hlg 28944  df-mir 29005  df-rag 29049  df-perpg 29051  df-hpg 29116  df-mid 29159  df-lmi 29160  df-cgra 29195  df-angmgm 29254

This theorem is used by:  angmgm0g  29276  angmgm  29277