Theorem angmgmlem 29425

Description: Lemma for angmgm 29427. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmval.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmval.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmval.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmgmval.j	⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
angmgmlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
angmgmlem	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐺,𝑓,𝑠   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   + ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   − ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   ∼ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐴,𝑑   𝐺,𝑑   𝐼,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐽,𝑓   𝐿,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑋,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑌,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝜑,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑠, 𝑑)

Proof of Theorem angmgmlem

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑏 𝑖 𝑗 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmlem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		angmgmval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		angmgmval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
4		angmgmval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		angmgmval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		angmgmval.c	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
7		angmgmval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		angmgmval.o	. . . . . 6 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
9		angmgmval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (≤∠‘𝐺) = (≤∠‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	angmgmval 29424	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
12	1, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
13		ovex 7476	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
14	3, 13	rabex2 5306	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		1nn 12373	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		basendx 17425	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17		1lt2 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
18		2nn 12443	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19		plusgndx 17483	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) = 2
20		2lt10 12985	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
21		10nn 12861	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
22		plendx 17566	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
23	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	strle3 17367	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} Struct ⟨1, ;10⟩
24		baseid 17419	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
25		snsstp1 4775	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
26	23, 24, 25	strfv 17410	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
27	14, 26	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
28	6	fvexi 6922	. . . . 5 ⊢ ∼ ∈ V
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
30		tpex 7786	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V)
32	2, 3, 6, 1	cgrabasimass 29408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	12, 27, 29, 31, 32	qusin 17745	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
34	14, 14	mpoex 8117	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)) ∈ V
35	8, 34	eqeltri 2860	. . . 4 ⊢ + ∈ V
36		plusgid 17484	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
37		snsstp2 4776	. . . . 5 ⊢ {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
38	23, 36, 37	strfv 17410	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
39	35, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩})
40	2, 3, 6, 1	cgraer 29407	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) Er 𝐴)
41	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42		brinxp2 5734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 ↔ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
43	42	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
44	43	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∼ 𝑝))
45	44	simplld 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑎 ∈ 𝐴)
46		brinxp2 5734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞 ↔ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∼ 𝑞))
47	46	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∼ 𝑞))
48	47	simplld 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑏 ∈ 𝐴)
49	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 45, 48	angmgmaddcl 29421	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐴)
50	44	simplrd 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	47	simplrd 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑞 ∈ 𝐴)
52	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 50, 51	angmgmaddcl 29421	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐴)
53	44	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑎 ∼ 𝑝)
54	47	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → 𝑏 ∼ 𝑞)
55	2, 3, 4, 5, 6, 7, 41, 8, 50, 51, 45, 48, 53, 54	angmgmaddcpbl 29420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞))
56		brinxp2 5734	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞) ↔ (((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
57	49, 52, 55, 56	syl21anbrc 1363	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝) ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞))
58	57	expl 463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑝 ∧ 𝑏( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑞) → (𝑎 + 𝑏)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))(𝑝 + 𝑞)))
59	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
61		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
62	2, 3, 4, 5, 6, 7, 59, 8, 60, 61	angmgmaddcl 29421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 + 𝑗) ∈ 𝐴)
63	2	fvexi 6922	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
65		angmgmlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
66		angmgmlem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
67	66	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
68	66	eldifsnbd 4749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
69	68	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
70	3, 64, 65, 67, 65, 69, 68	elcgrabasrd 29406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴)
71	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	70	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴)
73		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
74	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 72, 73	angmgmaddcl 29421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∈ 𝐴)
75	65	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
76	66	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
77	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 75, 76, 73	angmgmaddlid 29422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∼ 𝑖)
78		brinxp2 5734	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖 ↔ (((⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∈ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖) ∼ 𝑖))
79	74, 73, 77, 78	syl21anbrc 1363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ + 𝑖)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖)
80	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 73, 72	angmgmaddcl 29421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∈ 𝐴)
81	2, 3, 4, 5, 6, 7, 71, 8, 75, 76, 73	angmgmaddrid 29423	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∼ 𝑖)
82		brinxp2 5734	. . . 4 ⊢ ((𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖 ↔ (((𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∈ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) ∼ 𝑖))
83	80, 73, 81, 82	syl21anbrc 1363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → (𝑖 + ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑖)
84	33, 27, 39, 40, 31, 58, 62, 70, 79, 83	qusmgm 18893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽)))
85		ecinxp 8841	. . . . 5 ⊢ ((( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ 𝐴) → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
86	32, 70, 85	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
87	86	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽) ↔ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽)))
88	87	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)) ↔ (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩]( ∼ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (0g‘𝐽))))
89	84, 88	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588  {ctp 4592  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5653   “ cima 5658  ‘cfv 6558  ℩crio 7399  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  [cec 8743   ↑_m cmap 8875  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  3c3 12425  ;cdc 12841  ..^cfzo 13815  ⟨“cs3 15021  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  lecple 17464  distcds 17466  0_gc0g 17639   /_s cqus 17706  Mgmcmgm 18843  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  cgrAccgra 29344  ≤_∠cleag 29385  AngMgmcangmgm 29403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-0g 17641  df-imas 17709  df-qus 17710  df-mgm 18845  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkgld 28944  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-ismt 29026  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201  df-hpg 29266  df-mid 29309  df-lmi 29310  df-cgra 29345  df-angmgm 29404

This theorem is used by:  angmgm0g  29426  angmgm  29427