Theorem pcelnn 16798

Description: There are a positive number of powers of a prime 𝑃 in 𝑁 iff 𝑃 divides 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcelnn	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem pcelnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12574	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		1nn0 12483	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		pcdvdsb 16797	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝑁))
4	2, 3	mp3an3 1451	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝑁))
5	1, 4	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝑁))
6		pccl 16777	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
7		elnnnn0c 12512	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
8	7	baibr 538	. . 3 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ))
10		prmnn 16606	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12223	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	exp1d 14101	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃)
13	12	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
14	13	breq1d 5156	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑1) ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
15	5, 9, 14	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5146  (class class class)co 7403  1c1 11106   ≤ cle 11244  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12553  ↑cexp 14022   ∥ cdvds 16192  ℙcprime 16603   pCnt cpc 16764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16193  df-gcd 16431  df-prm 16604  df-pc 16765

This theorem is referenced by:  pceq0  16799  pc2dvds  16807  1arith  16855  isppw2  26598  sqf11  26622  sqff1o  26665  chtublem  26693  perfect  26713  lgsne0  26817  dchrisum0flblem2  26991  aks4d1p7d1  40884  aks4d1p8d2  40887  aks4d1p8d3  40888  aks4d1p8  40889  aks6d1c2p2  40894  perfectALTV  46325