Theorem pcelnn 17080

Description: There are a positive number of powers of a prime 𝑃 in 𝑁 iff 𝑃 divides 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcelnn	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem pcelnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12744	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		1nn0 12652	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		pcdvdsb 17079	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝑁))
4	2, 3	mp3an3 1480	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝑁))
5	1, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝑁))
6		pccl 17059	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
7		elnnnn0c 12681	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
8	7	baibr 546	. . 3 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ))
10		prmnn 16881	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12381	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	exp1d 14314	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
14	13	breq1d 5116	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑1) ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
15	5, 9, 14	3bitr3d 312	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  1c1 11231   ≤ cle 11374  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ↑cexp 14234   ∥ cdvds 16454  ℙcprime 16878   pCnt cpc 17046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-gcd 16697  df-prm 16879  df-pc 17047

This theorem is used by:  pceq0  17081  pc2dvds  17089  1arith  17137  isppw2  27475  sqf11  27499  sqff1o  27542  chtublem  27571  perfect  27591  lgsne0  27695  dchrisum0flblem2  27869  aks4d1p7d1  43335  aks4d1p8d2  43338  aks4d1p8d3  43339  aks4d1p8  43340  aks6d1c2p2  43372  aks6d1c7  43437  perfectALTV  49036