Theorem epihom 17552

Description: An epimorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
epihom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem epihom

Dummy variables 𝑧 𝑔 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isepi.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		isepi.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		isepi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
5		isepi.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		isepi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		isepi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isepi 17550	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝑓)))))
9		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝑓))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	8, 9	syl6bi 252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
11	10	ssrdv 3938	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   ⊆ wss 3898  ⟨cop 4580   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5620  Fun wfun 6474  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  Basecbs 17010  Hom chom 17071  compcco 17072  Catccat 17471  Epicepi 17539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-tpos 8113  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-hom 17084  df-cco 17085  df-cat 17475  df-cid 17476  df-oppc 17519  df-mon 17540  df-epi 17541

This theorem is referenced by:  setcepi  17901