Theorem isepi2 17727

Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isepi2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,ℎ,𝐻,𝑧   · ,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝑋,ℎ,𝑧   𝑔,𝐹,ℎ,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,ℎ,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐸(𝑧,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem isepi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isepi.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		isepi.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		isepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
5		isepi.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		isepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		isepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isepi 17726	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))
9	5	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
10	6	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
13		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 17668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
16	15	anassrs 466	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
17	16	ralrimiva 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
18		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
19	18	fmpt 7119	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ↔ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧))
20		df-f1 6554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) ∧ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
21	20	baib 534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
22	19, 21	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
23		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
24	18, 23	f1mpt 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
25	24	baib 534	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
26	22, 25	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
28	27	ralbidva 3165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
29	28	pm5.32da 577	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))
30	8, 29	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ⟨cop 4636   ↦ cmpt 5232  ^◡ccnv 5677  Fun wfun 6543  ⟶wf 6545  –1-1→wf1 6546  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  Hom chom 17247  compcco 17248  Catccat 17647  Epicepi 17715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-hom 17260  df-cco 17261  df-cat 17651  df-cid 17652  df-oppc 17695  df-mon 17716  df-epi 17717

This theorem is referenced by:  setcepi  18080  idepi  48206  thincepi  48224  grptcepi  48286