MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isepi2 17729
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
isepi.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
isepi.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
isepi.e ๐ธ = (Epiโ€˜๐ถ)
isepi.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
isepi.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
isepi.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
isepi2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ธ๐‘Œ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘”,๐ต   ๐ถ,๐‘”,๐‘ง   ๐‘”,โ„Ž,๐ป,๐‘ง   ยท ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ง   ๐‘”,๐‘‹,โ„Ž,๐‘ง   ๐‘”,๐น,โ„Ž,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘”,๐‘ง   ๐‘”,๐‘Œ,โ„Ž,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž)   ๐ต(โ„Ž)   ๐ถ(โ„Ž)   ๐ธ(๐‘ง,๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 isepi.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 isepi.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 isepi.e . . 3 ๐ธ = (Epiโ€˜๐ถ)
5 isepi.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
6 isepi.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
7 isepi.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 17728 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ธ๐‘Œ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)))))
95ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
106ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
117ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
12 simprl 769 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
13 simplr 767 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
14 simprr 771 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 17670 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง))
1615anassrs 466 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง))
1716ralrimiva 3142 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง))
18 eqid 2727 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) = (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))
1918fmpt 7123 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โŸถ(๐‘‹๐ป๐‘ง))
20 df-f1 6556 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โŸถ(๐‘‹๐ป๐‘ง) โˆง Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))))
2120baib 534 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โŸถ(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))))
2219, 21sylbi 216 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))))
23 oveq1 7431 . . . . . . . 8 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))
2418, 23f1mpt 7275 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2524baib 534 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2622, 25bitr3d 280 . . . . 5 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ (Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2717, 26syl 17 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2827ralbidva 3171 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2928pm5.32da 577 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))))
308, 29bitrd 278 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ธ๐‘Œ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3057  โŸจcop 4636   โ†ฆ cmpt 5233  โ—กccnv 5679  Fun wfun 6545  โŸถwf 6547  โ€“1-1โ†’wf1 6548  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  Hom chom 17249  compcco 17250  Catccat 17649  Epicepi 17717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-hom 17262  df-cco 17263  df-cat 17653  df-cid 17654  df-oppc 17697  df-mon 17718  df-epi 17719
This theorem is referenced by:  setcepi  18082  idepi  48074  thincepi  48092  grptcepi  48154
  Copyright terms: Public domain W3C validator