MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isepi2 17695
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
isepi.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
isepi.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
isepi.e ๐ธ = (Epiโ€˜๐ถ)
isepi.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
isepi.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
isepi.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
isepi2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ธ๐‘Œ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘”,๐ต   ๐ถ,๐‘”,๐‘ง   ๐‘”,โ„Ž,๐ป,๐‘ง   ยท ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ง   ๐‘”,๐‘‹,โ„Ž,๐‘ง   ๐‘”,๐น,โ„Ž,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘”,๐‘ง   ๐‘”,๐‘Œ,โ„Ž,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž)   ๐ต(โ„Ž)   ๐ถ(โ„Ž)   ๐ธ(๐‘ง,๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 isepi.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 isepi.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 isepi.e . . 3 ๐ธ = (Epiโ€˜๐ถ)
5 isepi.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
6 isepi.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
7 isepi.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 17694 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ธ๐‘Œ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)))))
95ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
106ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
117ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
12 simprl 768 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
13 simplr 766 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
14 simprr 770 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 17636 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง))) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง))
1615anassrs 467 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง))
1716ralrimiva 3140 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง))
18 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) = (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))
1918fmpt 7104 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โŸถ(๐‘‹๐ป๐‘ง))
20 df-f1 6541 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โŸถ(๐‘‹๐ป๐‘ง) โˆง Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))))
2120baib 535 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โŸถ(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))))
2219, 21sylbi 216 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))))
23 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))
2418, 23f1mpt 7255 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2524baib 535 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ ((๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)):(๐‘Œ๐ป๐‘ง)โ€“1-1โ†’(๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2622, 25bitr3d 281 . . . . 5 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ง) โ†’ (Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2717, 26syl 17 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2827ralbidva 3169 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž)))
2928pm5.32da 578 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต Fun โ—ก(๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น))) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))))
308, 29bitrd 279 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ธ๐‘Œ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ง)((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) = (โ„Ž(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ง)๐น) โ†’ ๐‘” = โ„Ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โŸจcop 4629   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668  Fun wfun 6530  โŸถwf 6532  โ€“1-1โ†’wf1 6533  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Hom chom 17215  compcco 17216  Catccat 17615  Epicepi 17683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-hom 17228  df-cco 17229  df-cat 17619  df-cid 17620  df-oppc 17663  df-mon 17684  df-epi 17685
This theorem is referenced by:  setcepi  18048  idepi  47892  thincepi  47910  grptcepi  47972
  Copyright terms: Public domain W3C validator