Theorem isepi2 17710

Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isepi2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,ℎ,𝐻,𝑧   · ,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝑋,ℎ,𝑧   𝑔,𝐹,ℎ,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,ℎ,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐸(𝑧,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem isepi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isepi.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		isepi.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		isepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
5		isepi.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		isepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		isepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isepi 17709	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))
9	5	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
10	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
13		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 17653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
16	15	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
17	16	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
18		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
19	18	fmpt 7085	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ↔ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧))
20		df-f1 6519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) ∧ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
21	20	baib 535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
22	19, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
23		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
24	18, 23	f1mpt 7239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
25	24	baib 535	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
26	22, 25	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
28	27	ralbidva 3155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
29	28	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))
30	8, 29	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  compcco 17239  Catccat 17632  Epicepi 17698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-oppc 17680  df-mon 17699  df-epi 17700

This theorem is referenced by:  setcepi  18057  idepi  49014  thincepi  49427  grptcepi  49587