Theorem isepi2 17640

Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isepi2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,ℎ,𝐻,𝑧   · ,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝑋,ℎ,𝑧   𝑔,𝐹,ℎ,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,ℎ,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐸(𝑧,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem isepi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isepi.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		isepi.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		isepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
5		isepi.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		isepi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		isepi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isepi 17639	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)))))
9	5	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
10	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
13		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 17583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
16	15	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
17	16	ralrimiva 3122	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
18		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
19	18	fmpt 7038	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ↔ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧))
20		df-f1 6482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) ∧ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
21	20	baib 535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
22	19, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))))
23		oveq1 7348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))
24	18, 23	f1mpt 7190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
25	24	baib 535	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
26	22, 25	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
28	27	ralbidva 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ)))
29	28	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))
30	8, 29	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ℎ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ⟨cop 4580   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  Fun wfun 6471  ⟶wf 6473  –1-1→wf1 6474  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  Hom chom 17164  compcco 17165  Catccat 17562  Epicepi 17628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-hom 17177  df-cco 17178  df-cat 17566  df-cid 17567  df-oppc 17610  df-mon 17629  df-epi 17630

This theorem is referenced by:  setcepi  17987  idepi  49032  thincepi  49445  grptcepi  49605