Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eucalgf 15916
 Description: Domain and codomain of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
Assertion
Ref Expression
eucalgf 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgf
StepHypRef Expression
1 nnne0 11659 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
21adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
32neneqd 3016 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 = 0)
43iffalsed 4450 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩)
5 nnnn0 11892 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
65adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7 nn0z 11993 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
8 zmodcl 13254 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
97, 8sylan 583 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
106, 9opelxpd 5570 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
114, 10eqeltrd 2914 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1211adantlr 714 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
13 iftrue 4445 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1413adantl 485 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
15 opelxpi 5569 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1615adantr 484 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1714, 16eqeltrd 2914 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
18 simpr 488 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
19 elnn0 11887 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2018, 19sylib 221 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2112, 17, 20mpjaodan 956 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
2221rgen2 3193 . 2 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0)
23 eucalgval.1 . . 3 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
2423fmpo 7752 . 2 (∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0))
2522, 24mpbi 233 1 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130  ifcif 4439  ⟨cop 4545   × cxp 5530  ⟶wf 6330  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  0cc0 10526  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969   mod cmo 13232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233 This theorem is referenced by:  eucalgcvga  15919  eucalg  15920
 Copyright terms: Public domain W3C validator