Theorem tgoldbachgnn 34657

Description: Lemma for tgoldbachgtd 34660. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtda.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgnn	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtda.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
2		tgoldbachgtda.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3	1, 2	eleqtrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4		elrabi 3657	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		1red 11182	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7		10nn0 12674	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 12460	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
9		2nn0 12466	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		7nn0 12471	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
12		reexpcl 14050	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
13	8, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
15	5	zred 12645	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		1lt10 12795	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
18	16, 8, 17	ltleii 11304	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ ;10
19		expge1 14071	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ ;10) → 1 ≤ (;10↑;27))
20	8, 11, 18, 19	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (;10↑;27)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (;10↑;27))
22		tgoldbachgtda.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
23	6, 14, 15, 21, 22	letrd 11338	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
24		elnnz1 12566	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
25	5, 23, 24	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  7c7 12253  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34658  tgoldbachgtda  34659