Theorem tgoldbachgnn 34809

Description: Lemma for tgoldbachgtd 34812. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtda.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgnn	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtda.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
2		tgoldbachgtda.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4		elrabi 3631	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		1red 11134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7		10nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 12413	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
9		2nn0 12419	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		7nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12623	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
12		reexpcl 14002	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
13	8, 11, 12	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
15	5	zred 12597	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16		1re 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		1lt10 12747	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
18	16, 8, 17	ltleii 11257	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ ;10
19		expge1 14023	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ ;10) → 1 ≤ (;10↑;27))
20	8, 11, 18, 19	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (;10↑;27)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (;10↑;27))
22		tgoldbachgtda.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
23	6, 14, 15, 21, 22	letrd 11291	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
24		elnnz1 12518	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
25	5, 23, 24	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   ≤ cle 11168  ℕcn 12146  2c2 12201  7c7 12206  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ;cdc 12608  ↑cexp 13985   ∥ cdvds 16180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-seq 13926  df-exp 13986

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34810  tgoldbachgtda  34811