Theorem tgoldbachgnn 31343

Description: Lemma for tgoldbachgtd 31346. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtda.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgnn	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtda.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
2		tgoldbachgtda.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3	1, 2	syl6eleq 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4		elrabi 3567	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		1red 10379	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7		10nn0 11867	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 11658	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
9		2nn0 11665	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		7nn0 11670	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 11864	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
12		reexpcl 13199	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
13	8, 11, 12	mp2an 682	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
15	5	zred 11838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16		1re 10378	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		1lt10 11990	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
18	16, 8, 17	ltleii 10501	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ ;10
19		expge1 13219	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ ;10) → 1 ≤ (;10↑;27))
20	8, 11, 18, 19	mp3an 1534	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (;10↑;27)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (;10↑;27))
22		tgoldbachgtda.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
23	6, 14, 15, 21, 22	letrd 10535	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
24		elnnz1 11759	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
25	5, 23, 24	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   ≤ cle 10414  ℕcn 11378  2c2 11434  7c7 11439  ℕ₀cn0 11646  ℤcz 11732  ;cdc 11849  ↑cexp 13182   ∥ cdvds 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-seq 13124  df-exp 13183

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  31344  tgoldbachgtda  31345