Theorem tgoldbachgnn 35154

Description: Lemma for tgoldbachgtd 35157. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtda.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgnn	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtda.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
2		tgoldbachgtda.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3	1, 2	eleqtrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4		elrabi 3644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		1red 11236	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7		10nn0 12761	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 12542	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
9		2nn0 12548	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		7nn0 12553	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12754	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
12		reexpcl 14144	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
13	8, 11, 12	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
15	5	zred 12728	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		1lt10 12884	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
18	16, 8, 17	ltleii 11360	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ ;10
19		expge1 14165	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ ;10) → 1 ≤ (;10↑;27))
20	8, 11, 18, 19	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (;10↑;27)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (;10↑;27))
22		tgoldbachgtda.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
23	6, 14, 15, 21, 22	letrd 11394	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
24		elnnz1 12647	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
25	5, 23, 24	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  2c2 12322  7c7 12327  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ;cdc 12739  ↑cexp 14127   ∥ cdvds 16346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-seq 14068  df-exp 14128

This theorem is used by:  tgoldbachgtde  35155  tgoldbachgtda  35156