Theorem tgoldbachgnn 34691

Description: Lemma for tgoldbachgtd 34694. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtda.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtda.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtda.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgnn	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtda.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
2		tgoldbachgtda.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3	1, 2	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4		elrabi 3666	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		1red 11236	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7		10nn0 12726	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 12512	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
9		2nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		7nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12723	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
12		reexpcl 14096	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0) → (;10↑;27) ∈ ℝ)
13	8, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
15	5	zred 12697	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		1lt10 12847	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
18	16, 8, 17	ltleii 11358	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ ;10
19		expge1 14117	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ ;10) → 1 ≤ (;10↑;27))
20	8, 11, 18, 19	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ 1 ≤ (;10↑;27)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (;10↑;27))
22		tgoldbachgtda.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
23	6, 14, 15, 21, 22	letrd 11392	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
24		elnnz1 12618	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
25	5, 23, 24	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  2c2 12295  7c7 12300  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ;cdc 12708  ↑cexp 14079   ∥ cdvds 16272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34692  tgoldbachgtda  34693