Theorem fltoprmlem2 28024

Description: Lemma 2 for fltoprm 28025: If an integer greater than or equal to 3 is a power of 2, it is a multiple of 4. (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fltoprmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2↑𝐾)) → 4 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem fltoprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12998	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
2		zlem1lt 12775	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
3		3m1e2 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
4		2cn 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		exp1 14237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑1) = 2
7	3, 6	eqtr4i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 1) = (2↑1)
8	7	breq1i 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((3 − 1) < 𝑁 ↔ (2↑1) < 𝑁)
9		2re 12444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
11		1zzd 12754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
12		nn0z 12744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
13		1lt2 12542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
15	10, 11, 12, 14	ltexp2d 14422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ (2↑1) < (2↑𝐾)))
16		sq2 14367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
17		2z 12755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		2nn0 12650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
20	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		df-2 12432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	11, 12	zltp1led 12778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐾))
23	22	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝐾)
24	21, 23	eqbrtrid 5143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 2 ≤ 𝐾)
25		eluz2 12998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsexp 16527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑𝐾))
28	17, 18, 26, 27	mp3an12i 1495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → (2↑2) ∥ (2↑𝐾))
29	16, 28	eqbrtrrid 5144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾))
30	29	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 4 ∥ (2↑𝐾)))
31	15, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2↑1) < (2↑𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾)))
32		breq2 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → ((2↑1) < 𝑁 ↔ (2↑1) < (2↑𝐾)))
33		breq2 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (4 ∥ 𝑁 ↔ 4 ∥ (2↑𝐾)))
34	32, 33	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (((2↑1) < 𝑁 → 4 ∥ 𝑁) ↔ ((2↑1) < (2↑𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾))))
35	31, 34	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2↑1) < 𝑁 → 4 ∥ 𝑁)))
36	35	com13 89	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
38	8, 37	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
39	38	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 − 1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
40	2, 39	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
41	40	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
42	1, 41	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
43	42	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2↑𝐾)) → 4 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232  df-dvds 16452

This theorem is used by:  fltoprm  28025