Theorem fltoprmlem2 27976

Description: Lemma 2 for fltoprm 27977: If an integer greater than or equal to 3 is a power of 2, it is a multiple of 4. (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fltoprmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2↑𝐾)) → 4 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem fltoprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12952	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
2		zlem1lt 12729	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
3		3m1e2 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
4		2cn 12399	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		exp1 14190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑1) = 2
7	3, 6	eqtr4i 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 1) = (2↑1)
8	7	breq1i 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((3 − 1) < 𝑁 ↔ (2↑1) < 𝑁)
9		2re 12398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
11		1zzd 12708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
12		nn0z 12698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
13		1lt2 12496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
15	10, 11, 12, 14	ltexp2d 14375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ (2↑1) < (2↑𝐾)))
16		sq2 14320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
17		2z 12709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		2nn0 12604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
20	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		df-2 12386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	11, 12	zltp1led 12732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐾))
23	22	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝐾)
24	21, 23	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 2 ≤ 𝐾)
25		eluz2 12952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsexp 16478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑𝐾))
28	17, 18, 26, 27	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → (2↑2) ∥ (2↑𝐾))
29	16, 28	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾))
30	29	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 4 ∥ (2↑𝐾)))
31	15, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2↑1) < (2↑𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾)))
32		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → ((2↑1) < 𝑁 ↔ (2↑1) < (2↑𝐾)))
33		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (4 ∥ 𝑁 ↔ 4 ∥ (2↑𝐾)))
34	32, 33	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (((2↑1) < 𝑁 → 4 ∥ 𝑁) ↔ ((2↑1) < (2↑𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾))))
35	31, 34	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2↑1) < 𝑁 → 4 ∥ 𝑁)))
36	35	com13 89	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
38	8, 37	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
39	38	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 − 1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
40	2, 39	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
41	40	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
42	1, 41	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
43	42	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2↑𝐾)) → 4 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ↑cexp 14184   ∥ cdvds 16402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-dvds 16403

This theorem is used by:  fltoprm  27977