Theorem fltoprmlem2 27999

Description: Lemma 2 for fltoprm 28000: If an integer greater than or equal to 3 is a power of 2, it is a multiple of 4. (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fltoprmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2↑𝐾)) → 4 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem fltoprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12974	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
2		zlem1lt 12751	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
3		3m1e2 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
4		2cn 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		exp1 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑1) = 2
7	3, 6	eqtr4i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 1) = (2↑1)
8	7	breq1i 5109	. . . . . . 7 ⊢ ((3 − 1) < 𝑁 ↔ (2↑1) < 𝑁)
9		2re 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
11		1zzd 12730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
12		nn0z 12720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
13		1lt2 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
15	10, 11, 12, 14	ltexp2d 14398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ (2↑1) < (2↑𝐾)))
16		sq2 14343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
17		2z 12731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		2nn0 12626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
20	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		df-2 12408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	11, 12	zltp1led 12754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐾))
23	22	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝐾)
24	21, 23	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 2 ≤ 𝐾)
25		eluz2 12974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsexp 16503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑𝐾))
28	17, 18, 26, 27	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → (2↑2) ∥ (2↑𝐾))
29	16, 28	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾))
30	29	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 4 ∥ (2↑𝐾)))
31	15, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2↑1) < (2↑𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾)))
32		breq2 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → ((2↑1) < 𝑁 ↔ (2↑1) < (2↑𝐾)))
33		breq2 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (4 ∥ 𝑁 ↔ 4 ∥ (2↑𝐾)))
34	32, 33	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (((2↑1) < 𝑁 → 4 ∥ 𝑁) ↔ ((2↑1) < (2↑𝐾) → 4 ∥ (2↑𝐾))))
35	31, 34	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (2↑𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2↑1) < 𝑁 → 4 ∥ 𝑁)))
36	35	com13 89	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
38	8, 37	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
39	38	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((3 − 1) < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
40	2, 39	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁))))
41	40	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
42	1, 41	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 = (2↑𝐾) → 4 ∥ 𝑁)))
43	42	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2↑𝐾)) → 4 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  1c1 11204   + caddc 11206   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ↑cexp 14207   ∥ cdvds 16427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-seq 14148  df-exp 14208  df-dvds 16428

This theorem is used by:  fltoprm  28000