MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrncvvdeqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrncvvdeqlem4 28674
Description: Lemma 4 for frgrncvvdeq 28681. The mapping of neighbors to neighbors is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrncvvdeq.v1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x (𝜑𝑋𝑉)
frgrncvvdeq.y (𝜑𝑌𝑉)
frgrncvvdeq.ne (𝜑𝑋𝑌)
frgrncvvdeq.xy (𝜑𝑌𝐷)
frgrncvvdeq.f (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
frgrncvvdeqlem4 (𝜑𝐴:𝐷𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem4
StepHypRef Expression
1 frgrncvvdeq.v1 . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrncvvdeq.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 frgrncvvdeq.nx . . . 4 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
4 frgrncvvdeq.ny . . . 4 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
5 frgrncvvdeq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
6 frgrncvvdeq.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
7 frgrncvvdeq.ne . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
8 frgrncvvdeq.xy . . . 4 (𝜑𝑌𝐷)
9 frgrncvvdeq.f . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
10 frgrncvvdeq.a . . . 4 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10frgrncvvdeqlem2 28672 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃!𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
12 riotacl 7242 . . 3 (∃!𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 → (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ 𝑁)
1311, 12syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ 𝑁)
1413, 10fmptd 6980 1 (𝜑𝐴:𝐷𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wnel 3049  ∃!wreu 3066  {cpr 4563  cmpt 5156  wf 6422  cfv 6426  crio 7223  (class class class)co 7267  Vtxcvtx 27376  Edgcedg 27427   NeighbVtx cnbgr 27709   FriendGraph cfrgr 28630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-dju 9669  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-n0 12244  df-xnn0 12316  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-hash 14055  df-edg 27428  df-upgr 27462  df-umgr 27463  df-usgr 27531  df-nbgr 27710  df-frgr 28631
This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem8  28678  frgrncvvdeqlem9  28679
  Copyright terms: Public domain W3C validator