MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrncvvdeqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrncvvdeqlem4 30321
Description: Lemma 4 for frgrncvvdeq 30328. The mapping of neighbors to neighbors is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrncvvdeq.v1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x (𝜑𝑋𝑉)
frgrncvvdeq.y (𝜑𝑌𝑉)
frgrncvvdeq.ne (𝜑𝑋𝑌)
frgrncvvdeq.xy (𝜑𝑌𝐷)
frgrncvvdeq.f (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
frgrncvvdeqlem4 (𝜑𝐴:𝐷𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem4
StepHypRef Expression
1 frgrncvvdeq.v1 . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrncvvdeq.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 frgrncvvdeq.nx . . . 4 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
4 frgrncvvdeq.ny . . . 4 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
5 frgrncvvdeq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
6 frgrncvvdeq.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
7 frgrncvvdeq.ne . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
8 frgrncvvdeq.xy . . . 4 (𝜑𝑌𝐷)
9 frgrncvvdeq.f . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
10 frgrncvvdeq.a . . . 4 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10frgrncvvdeqlem2 30319 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃!𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
12 riotacl 7405 . . 3 (∃!𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 → (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ 𝑁)
1311, 12syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ 𝑁)
1413, 10fmptd 7134 1 (𝜑𝐴:𝐷𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wnel 3046  ∃!wreu 3378  {cpr 4628  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   NeighbVtx cnbgr 29349   FriendGraph cfrgr 30277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-usgr 29168  df-nbgr 29350  df-frgr 30278
This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem8  30325  frgrncvvdeqlem9  30326
  Copyright terms: Public domain W3C validator