Theorem frgrncvvdeqlem4 30238

Description: Lemma 4 for frgrncvvdeq 30245. The mapping of neighbors to neighbors is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx	⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.ne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
frgrncvvdeq.xy	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
frgrncvvdeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
frgrncvvdeqlem4	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrncvvdeq.v1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrncvvdeq.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		frgrncvvdeq.nx	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
4		frgrncvvdeq.ny	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
5		frgrncvvdeq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		frgrncvvdeq.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		frgrncvvdeq.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
8		frgrncvvdeq.xy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
9		frgrncvvdeq.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
10		frgrncvvdeq.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	frgrncvvdeqlem2 30236	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃!𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
12		riotacl 7364	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 → (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ 𝑁)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ 𝑁)
14	13, 10	fmptd 7089	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  ∃!wreu 3354  {cpr 4594   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℩crio 7346  (class class class)co 7390  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981   NeighbVtx cnbgr 29266   FriendGraph cfrgr 30194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-usgr 29085  df-nbgr 29267  df-frgr 30195

This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem8  30242  frgrncvvdeqlem9  30243