MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrncvvdeqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrncvvdeqlem5 29556
Description: Lemma 5 for frgrncvvdeq 29562. The mapping of neighbors to neighbors applied on a vertex is the intersection of the corresponding neighborhoods. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrncvvdeq.v1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x (𝜑𝑋𝑉)
frgrncvvdeq.y (𝜑𝑌𝑉)
frgrncvvdeq.ne (𝜑𝑋𝑌)
frgrncvvdeq.xy (𝜑𝑌𝐷)
frgrncvvdeq.f (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
frgrncvvdeqlem5 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝐴𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem5
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
2 riotaex 7369 . . . 4 (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V
3 frgrncvvdeq.a . . . . 5 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
43fvmpt2 7010 . . . 4 ((𝑥𝐷 ∧ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
51, 2, 4sylancl 587 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
65sneqd 4641 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝐴𝑥)} = {(𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)})
7 frgrncvvdeq.v1 . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 frgrncvvdeq.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9 frgrncvvdeq.nx . . 3 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
10 frgrncvvdeq.ny . . 3 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
11 frgrncvvdeq.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 frgrncvvdeq.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
13 frgrncvvdeq.ne . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
14 frgrncvvdeq.xy . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
15 frgrncvvdeq.f . . 3 (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
167, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 3frgrncvvdeqlem3 29554 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
176, 16eqtrd 2773 1 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝐴𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wnel 3047  Vcvv 3475  cin 3948  {csn 4629  {cpr 4631  cmpt 5232  cfv 6544  crio 7364  (class class class)co 7409  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307   NeighbVtx cnbgr 28589   FriendGraph cfrgr 29511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-edg 28308  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-usgr 28411  df-nbgr 28590  df-frgr 29512
This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem6  29557  frgrncvvdeqlem7  29558  frgrncvvdeqlem9  29560
  Copyright terms: Public domain W3C validator