MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrncvvdeqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrncvvdeqlem5 28410
Description: Lemma 5 for frgrncvvdeq 28416. The mapping of neighbors to neighbors applied on a vertex is the intersection of the corresponding neighborhoods. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrncvvdeq.v1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x (𝜑𝑋𝑉)
frgrncvvdeq.y (𝜑𝑌𝑉)
frgrncvvdeq.ne (𝜑𝑋𝑌)
frgrncvvdeq.xy (𝜑𝑌𝐷)
frgrncvvdeq.f (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
frgrncvvdeqlem5 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝐴𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem5
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
2 riotaex 7193 . . . 4 (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V
3 frgrncvvdeq.a . . . . 5 𝐴 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
43fvmpt2 6848 . . . 4 ((𝑥𝐷 ∧ (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
51, 2, 4sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
65sneqd 4568 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝐴𝑥)} = {(𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)})
7 frgrncvvdeq.v1 . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 frgrncvvdeq.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9 frgrncvvdeq.nx . . 3 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
10 frgrncvvdeq.ny . . 3 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
11 frgrncvvdeq.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 frgrncvvdeq.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
13 frgrncvvdeq.ne . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
14 frgrncvvdeq.xy . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
15 frgrncvvdeq.f . . 3 (𝜑𝐺 ∈ FriendGraph )
167, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 3frgrncvvdeqlem3 28408 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝑦𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
176, 16eqtrd 2778 1 ((𝜑𝑥𝐷) → {(𝐴𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  wnel 3047  Vcvv 3421  cin 3880  {csn 4556  {cpr 4558  cmpt 5150  cfv 6398  crio 7188  (class class class)co 7232  Vtxcvtx 27111  Edgcedg 27162   NeighbVtx cnbgr 27444   FriendGraph cfrgr 28365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-2o 8224  df-oadd 8227  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-dju 9542  df-card 9580  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-n0 12116  df-xnn0 12188  df-z 12202  df-uz 12464  df-fz 13121  df-hash 13922  df-edg 27163  df-upgr 27197  df-umgr 27198  df-usgr 27266  df-nbgr 27445  df-frgr 28366
This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem6  28411  frgrncvvdeqlem7  28412  frgrncvvdeqlem9  28414
  Copyright terms: Public domain W3C validator