Theorem frgrncvvdeqlem5 30837

Description: Lemma 5 for frgrncvvdeq 30843. The mapping of neighbors to neighbors applied on a vertex is the intersection of the corresponding neighborhoods. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx	⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.ne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
frgrncvvdeq.xy	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
frgrncvvdeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
frgrncvvdeqlem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(𝐴‘𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
2		riotaex 7369	. . . 4 ⊢ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V
3		frgrncvvdeq.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
4	3	fvmpt2 6993	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V) → (𝐴‘𝑥) = (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5	1, 2, 4	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴‘𝑥) = (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
6	5	sneqd 4595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(𝐴‘𝑥)} = {(℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)})
7		frgrncvvdeq.v1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		frgrncvvdeq.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9		frgrncvvdeq.nx	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
10		frgrncvvdeq.ny	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
11		frgrncvvdeq.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		frgrncvvdeq.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		frgrncvvdeq.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
14		frgrncvvdeq.xy	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
15		frgrncvvdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 3	frgrncvvdeqlem3 30835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
17	6, 16	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(𝐴‘𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  Vcvv 3450   ∩ cin 3897  {csn 4583  {cpr 4585   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  ℩crio 7364  (class class class)co 7408  Vtxcvtx 29507  Edgcedg 29558   NeighbVtx cnbgr 29846   FriendGraph cfrgr 30792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-hash 14442  df-edg 29559  df-upgr 29593  df-umgr 29594  df-usgr 29665  df-nbgr 29847  df-frgr 30793

This theorem is used by:  frgrncvvdeqlem6  30838  frgrncvvdeqlem7  30839  frgrncvvdeqlem9  30841