Theorem frgrncvvdeqlem5 30251

Description: Lemma 5 for frgrncvvdeq 30257. The mapping of neighbors to neighbors applied on a vertex is the intersection of the corresponding neighborhoods. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx	⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.ne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
frgrncvvdeq.xy	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
frgrncvvdeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
frgrncvvdeqlem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(𝐴‘𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
2		riotaex 7310	. . . 4 ⊢ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V
3		frgrncvvdeq.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
4	3	fvmpt2 6941	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ∈ V) → (𝐴‘𝑥) = (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5	1, 2, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴‘𝑥) = (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
6	5	sneqd 4589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(𝐴‘𝑥)} = {(℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)})
7		frgrncvvdeq.v1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		frgrncvvdeq.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9		frgrncvvdeq.nx	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
10		frgrncvvdeq.ny	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
11		frgrncvvdeq.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		frgrncvvdeq.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		frgrncvvdeq.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
14		frgrncvvdeq.xy	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
15		frgrncvvdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 3	frgrncvvdeqlem3 30249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
17	6, 16	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(𝐴‘𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  Vcvv 3436   ∩ cin 3902  {csn 4577  {cpr 4579   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  (class class class)co 7349  Vtxcvtx 28945  Edgcedg 28996   NeighbVtx cnbgr 29281   FriendGraph cfrgr 30206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238  df-edg 28997  df-upgr 29031  df-umgr 29032  df-usgr 29100  df-nbgr 29282  df-frgr 30207

This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem6  30252  frgrncvvdeqlem7  30253  frgrncvvdeqlem9  30255