MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdivdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdivdiv 15953
Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
prmdivdiv ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem prmdivdiv
StepHypRef Expression
1 fz1ssfz0 12853 . . 3 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
2 simpr 485 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
31, 2sseldi 3887 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
4 simpl 483 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5 elfznn 12786 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝐴 ∈ ℕ)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
76nnzd 11935 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 prmnn 15847 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9 fzm1ndvds 15505 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝐴)
108, 9sylan 580 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝐴)
11 prmdiv.1 . . . . . 6 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
1211prmdiv 15951 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
134, 7, 10, 12syl3anc 1364 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
1413simprd 496 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
156nncnd 11502 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1613simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
17 elfznn 12786 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℕ)
1918nncnd 11502 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
2015, 19mulcomd 10508 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝐴 · 𝑅) = (𝑅 · 𝐴))
2120oveq1d 7031 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝑅 · 𝐴) − 1))
2214, 21breqtrd 4988 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1))
23 elfzelz 12758 . . . 4 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
2416, 23syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
25 fzm1ndvds 15505 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑅)
268, 16, 25syl2an2r 681 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑅)
27 eqid 2795 . . . 4 ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
2827prmdiveq 15952 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
294, 24, 26, 28syl3anc 1364 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
303, 22, 29mpbi2and 708 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388  cmin 10717  cn 11486  2c2 11540  cz 11829  ...cfz 12742   mod cmo 13087  cexp 13279  cdvds 15440  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-prm 15845  df-phi 15932
This theorem is referenced by:  wilthlem2  25328
  Copyright terms: Public domain W3C validator