Theorem prmdivdiv 16834

Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdiv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmdivdiv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem prmdivdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssfz0 13680	. . 3 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
3	1, 2	sselid 4006	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5		elfznn 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝐴 ∈ ℕ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12666	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		prmnn 16721	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9		fzm1ndvds 16370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
10	8, 9	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
11		prmdiv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
12	11	prmdiv 16832	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
14	13	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
15	6	nncnd 12309	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
17		elfznn 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℕ)
19	18	nncnd 12309	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
20	15, 19	mulcomd 11311	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝐴 · 𝑅) = (𝑅 · 𝐴))
21	20	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝑅 · 𝐴) − 1))
22	14, 21	breqtrd 5192	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1))
23	16	elfzelzd 13585	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
24		fzm1ndvds 16370	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅)
25	8, 16, 24	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅)
26		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
27	26	prmdiveq 16833	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
28	4, 23, 25, 27	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
29	3, 22, 28	mpbi2and 711	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ...cfz 13567   mod cmo 13920  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-phi 16813

This theorem is referenced by:  wilthlem2  27130