Theorem prmdivdiv 16704

Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdiv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmdivdiv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem prmdivdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssfz0 13581	. . 3 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
3	1, 2	sselid 3977	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
4		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5		elfznn 13514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝐴 ∈ ℕ)
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12569	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		prmnn 16595	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9		fzm1ndvds 16249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
10	8, 9	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
11		prmdiv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
12	11	prmdiv 16702	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
14	13	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
15	6	nncnd 12212	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
17		elfznn 13514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℕ)
19	18	nncnd 12212	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
20	15, 19	mulcomd 11219	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝐴 · 𝑅) = (𝑅 · 𝐴))
21	20	oveq1d 7409	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝑅 · 𝐴) − 1))
22	14, 21	breqtrd 5168	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1))
23	16	elfzelzd 13486	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
24		fzm1ndvds 16249	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅)
25	8, 16, 24	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅)
26		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
27	26	prmdiveq 16703	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
28	4, 23, 25, 27	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
29	3, 22, 28	mpbi2and 710	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5142  (class class class)co 7394  0cc0 11094  1c1 11095   · cmul 11099   − cmin 11428  ℕcn 12196  2c2 12251  ℤcz 12542  ...cfz 13468   mod cmo 13818  ↑cexp 14011   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-oadd 8454  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-dju 9880  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-n0 12457  df-xnn0 12529  df-z 12543  df-uz 12807  df-rp 12959  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-mod 13819  df-seq 13951  df-exp 14012  df-hash 14275  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-dvds 16182  df-gcd 16420  df-prm 16593  df-phi 16683

This theorem is referenced by:  wilthlem2  26502