Theorem reumodprminv 16886

Description: For any prime number and for any positive integer less than this prime number, there is a unique modular inverse of this positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reumodprminv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖

Proof of Theorem reumodprminv

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		elfzoelz 13704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		prmnn 16754	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5		prmz 16755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6		fzoval 13705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
8	7	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (1..^𝑃) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))))
9	8	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
10		fzm1ndvds 16402	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
11	4, 9, 10	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
13	12	modprminv 16881	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
14	13	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
15	13	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
16		1eluzge0 12920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
17		fzss1 13608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
18	16, 17	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
19	18	sseld 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
21	20	imdistani 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
22	12	modprminveq 16882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1) ↔ 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
23	22	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
24	23	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)
25	24	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
26	21, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
27	26	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
28	14, 15, 27	jca32 525	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
29	1, 3, 11, 28	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
30		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
31	30	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
32	31	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
33		eqeq1 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑖 = 𝑠 ↔ ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
34	33	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
35	34	ralbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
36	32, 35	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)) ↔ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
37	36	rspcev 3583	. . 3 ⊢ ((((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
38	29, 37	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
39		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · 𝑠))
40	39	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃))
41	40	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1))
42	41	reu8 3698	. 2 ⊢ (∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
43	38, 42	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∃!wreu 3369   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120   − cmin 11456  ℕcn 12248  2c2 12310  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  ..^cfzo 13699   mod cmo 13920  ↑cexp 14115   ∥ cdvds 16332  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-gcd 16575  df-prm 16752  df-phi 16847

This theorem is used by:  modprm0  16887