MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reumodprminv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reumodprminv 16772
Description: For any prime number and for any positive integer less than this prime number, there is a unique modular inverse of this positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
reumodprminv ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–

Proof of Theorem reumodprminv
Dummy variable ๐‘  is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 elfzoelz 13664 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32adantl 480 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 prmnn 16644 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
5 prmz 16645 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6 fzoval 13665 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (1..^๐‘ƒ) = (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1..^๐‘ƒ) = (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
87eleq2d 2811 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†” ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
98biimpa 475 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
10 fzm1ndvds 16298 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
114, 9, 10syl2an2r 683 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
12 eqid 2725 . . . . . . 7 ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
1312modprminv 16767 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1))
1413simpld 493 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1513simprd 494 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1)
16 1eluzge0 12906 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
17 fzss1 13572 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โІ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โІ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1918sseld 3971 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
20193ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
2120imdistani 567 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
2212modprminveq 16768 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†” ๐‘  = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
2322biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ ๐‘  = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ))
2423eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )
2524expr 455 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2621, 25syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2726ralrimiva 3136 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2814, 15, 27jca32 514 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
291, 3, 11, 28syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
30 oveq2 7424 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘–) = (๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
3130oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
3231eqeq1d 2727 . . . . 5 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1))
33 eqeq1 2729 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– = ๐‘  โ†” ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
3433imbi2d 339 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ ) โ†” (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )))
3534ralbidv 3168 . . . . 5 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ ) โ†” โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )))
3632, 35anbi12d 630 . . . 4 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )) โ†” (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
3736rspcev 3601 . . 3 ((((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
3829, 37syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
39 oveq2 7424 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘  โ†’ (๐‘ ยท ๐‘–) = (๐‘ ยท ๐‘ ))
4039oveq1d 7431 . . . 4 (๐‘– = ๐‘  โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ))
4140eqeq1d 2727 . . 3 (๐‘– = ๐‘  โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1))
4241reu8 3720 . 2 (โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
4338, 42sylibr 233 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  โˆƒ!wreu 3362   โІ wss 3939   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  โ„•cn 12242  2c2 12297  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659   mod cmo 13866  โ†‘cexp 14058   โˆฅ cdvds 16230  โ„™cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734
This theorem is referenced by:  modprm0  16773
  Copyright terms: Public domain W3C validator