MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reumodprminv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reumodprminv 16843
Description: For any prime number and for any positive integer less than this prime number, there is a unique modular inverse of this positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
reumodprminv ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖

Proof of Theorem reumodprminv
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 elfzoelz 13700 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 prmnn 16712 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5 prmz 16713 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6 fzoval 13701 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℤ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
87eleq2d 2826 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (1..^𝑃) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))))
98biimpa 476 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
10 fzm1ndvds 16360 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑁)
114, 9, 10syl2an2r 685 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ¬ 𝑃𝑁)
12 eqid 2736 . . . . . . 7 ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
1312modprminv 16838 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
1413simpld 494 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
1513simprd 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
16 1eluzge0 12935 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (ℤ‘0)
17 fzss1 13604 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
1918sseld 3981 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
20193ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
2120imdistani 568 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
2212modprminveq 16839 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ((𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1) ↔ 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
2322biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
2423eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)
2524expr 456 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
2621, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
2726ralrimiva 3145 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
2814, 15, 27jca32 515 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
291, 3, 11, 28syl3anc 1372 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
30 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
3130oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
3231eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
33 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑖 = 𝑠 ↔ ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
3433imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
3534ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
3632, 35anbi12d 632 . . . 4 (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)) ↔ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
3736rspcev 3621 . . 3 ((((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
3829, 37syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
39 oveq2 7440 . . . . 5 (𝑖 = 𝑠 → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · 𝑠))
4039oveq1d 7447 . . . 4 (𝑖 = 𝑠 → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃))
4140eqeq1d 2738 . . 3 (𝑖 = 𝑠 → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1))
4241reu8 3738 . 2 (∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
4338, 42sylibr 234 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  ∃!wreu 3377  wss 3950   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  cmin 11493  cn 12267  2c2 12322  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695   mod cmo 13910  cexp 14103  cdvds 16291  cprime 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-phi 16804
This theorem is referenced by:  modprm0  16844
  Copyright terms: Public domain W3C validator