Theorem reumodprminv 16433

Description: For any prime number and for any positive integer less than this prime number, there is a unique modular inverse of this positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reumodprminv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖

Proof of Theorem reumodprminv

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		elfzoelz 13316	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		prmnn 16307	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5		prmz 16308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6		fzoval 13317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
8	7	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (1..^𝑃) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))))
9	8	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
10		fzm1ndvds 15959	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
11	4, 9, 10	syl2an2r 681	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
13	12	modprminv 16428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
14	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
15	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
16		1eluzge0 12561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
17		fzss1 13224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
19	18	sseld 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
20	19	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
21	20	imdistani 568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
22	12	modprminveq 16429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1) ↔ 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
23	22	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
24	23	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)
25	24	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
26	21, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
27	26	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
28	14, 15, 27	jca32 515	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
29	1, 3, 11, 28	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
30		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
31	30	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
32	31	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
33		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑖 = 𝑠 ↔ ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
34	33	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
35	34	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
36	32, 35	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)) ↔ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
37	36	rspcev 3552	. . 3 ⊢ ((((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
38	29, 37	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
39		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · 𝑠))
40	39	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃))
41	40	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1))
42	41	reu8 3663	. 2 ⊢ (∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
43	38, 42	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311   mod cmo 13517  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-phi 16395

This theorem is referenced by:  modprm0  16434