MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reumodprminv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reumodprminv 16746
Description: For any prime number and for any positive integer less than this prime number, there is a unique modular inverse of this positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
reumodprminv ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–

Proof of Theorem reumodprminv
Dummy variable ๐‘  is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 elfzoelz 13638 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32adantl 481 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 prmnn 16618 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
5 prmz 16619 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6 fzoval 13639 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (1..^๐‘ƒ) = (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1..^๐‘ƒ) = (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
87eleq2d 2813 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†” ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
98biimpa 476 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
10 fzm1ndvds 16272 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
114, 9, 10syl2an2r 682 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
1312modprminv 16741 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1))
1413simpld 494 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1513simprd 495 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1)
16 1eluzge0 12880 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
17 fzss1 13546 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โІ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โІ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1918sseld 3976 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
20193ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
2120imdistani 568 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
2212modprminveq 16742 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†” ๐‘  = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
2322biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ ๐‘  = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ))
2423eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )
2524expr 456 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2621, 25syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2726ralrimiva 3140 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2814, 15, 27jca32 515 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
291, 3, 11, 28syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
30 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘–) = (๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
3130oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
3231eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1))
33 eqeq1 2730 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– = ๐‘  โ†” ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
3433imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ ) โ†” (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )))
3534ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ ) โ†” โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )))
3632, 35anbi12d 630 . . . 4 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )) โ†” (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
3736rspcev 3606 . . 3 ((((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
3829, 37syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
39 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘  โ†’ (๐‘ ยท ๐‘–) = (๐‘ ยท ๐‘ ))
4039oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘– = ๐‘  โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ))
4140eqeq1d 2728 . . 3 (๐‘– = ๐‘  โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1))
4241reu8 3724 . 2 (โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
4338, 42sylibr 233 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  โˆƒ!wreu 3368   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708
This theorem is referenced by:  modprm0  16747
  Copyright terms: Public domain W3C validator