MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reumodprminv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reumodprminv 16684
Description: For any prime number and for any positive integer less than this prime number, there is a unique modular inverse of this positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
reumodprminv ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–

Proof of Theorem reumodprminv
Dummy variable ๐‘  is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 elfzoelz 13581 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32adantl 483 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 prmnn 16558 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
5 prmz 16559 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6 fzoval 13582 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (1..^๐‘ƒ) = (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1..^๐‘ƒ) = (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
87eleq2d 2820 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†” ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
98biimpa 478 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
10 fzm1ndvds 16212 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
114, 9, 10syl2an2r 684 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
1312modprminv 16679 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1))
1413simpld 496 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1513simprd 497 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1)
16 1eluzge0 12825 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
17 fzss1 13489 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1918sseld 3947 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
20193ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
2120imdistani 570 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
2212modprminveq 16680 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†” ๐‘  = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
2322biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ ๐‘  = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ))
2423eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1)) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )
2524expr 458 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2621, 25syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2726ralrimiva 3140 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
2814, 15, 27jca32 517 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
291, 3, 11, 28syl3anc 1372 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
30 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘–) = (๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
3130oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
3231eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1))
33 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– = ๐‘  โ†” ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))
3433imbi2d 341 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ ) โ†” (((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )))
3534ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ ) โ†” โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ )))
3632, 35anbi12d 632 . . . 4 (๐‘– = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )) โ†” (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))))
3736rspcev 3583 . . 3 ((((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (((๐‘ ยท ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ๐‘ ))) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
3829, 37syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
39 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘  โ†’ (๐‘ ยท ๐‘–) = (๐‘ ยท ๐‘ ))
4039oveq1d 7376 . . . 4 (๐‘– = ๐‘  โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ))
4140eqeq1d 2735 . . 3 (๐‘– = ๐‘  โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1))
4241reu8 3695 . 2 (โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1 โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))(((๐‘ ยท ๐‘ ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ๐‘– = ๐‘ )))
4338, 42sylibr 233 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘–) mod ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350   โŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576   mod cmo 13783  โ†‘cexp 13976   โˆฅ cdvds 16144  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-phi 16646
This theorem is referenced by:  modprm0  16685
  Copyright terms: Public domain W3C validator