MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wilthlem1 26440
Description: The only elements that are equal to their own inverses in the multiplicative group of nonzero elements in โ„ค / ๐‘ƒโ„ค are 1 and -1โ‰ก๐‘ƒ โˆ’ 1. (Note that from prmdiveq 16666, (๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ is the modular inverse of ๐‘ in โ„ค / ๐‘ƒโ„ค. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
wilthlem1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ = 1 โˆจ ๐‘ = (๐‘ƒ โˆ’ 1))))

Proof of Theorem wilthlem1
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13450 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 peano2zm 12554 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
54zcnd 12616 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
62peano2zd 12618 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
76zcnd 12616 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
85, 7mulcomd 11184 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐‘ + 1)) = ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
92zcnd 12616 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10 ax-1cn 11117 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
11 subsq 14123 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
129, 10, 11sylancl 587 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
139sqvald 14057 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
14 sq1 14108 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
1613, 15oveq12d 7379 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1))
178, 12, 163eqtr2d 2779 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐‘ + 1)) = ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1))
1817breq2d 5121 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐‘ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1)))
19 fz1ssfz0 13546 . . . . . 6 (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))
20 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2119, 20sselid 3946 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2221biantrurd 534 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1) โ†” (๐‘ โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1))))
2318, 22bitrd 279 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐‘ + 1)) โ†” (๐‘ โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1))))
24 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
25 euclemma 16597 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐‘ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ + 1))))
2624, 4, 6, 25syl3anc 1372 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐‘ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ + 1))))
27 prmnn 16558 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
28 fzm1ndvds 16212 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
2927, 28sylan 581 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
30 eqid 2733 . . . . 5 ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
3130prmdiveq 16666 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
3224, 2, 29, 31syl3anc 1372 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท ๐‘) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)))
3323, 26, 323bitr3rd 310 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ + 1))))
3424, 27syl 17 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
35 1zzd 12542 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
36 moddvds 16155 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
3734, 2, 35, 36syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
38 elfznn 13479 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3938adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4039nnred 12176 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4134nnrpd 12963 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
4239nnnn0d 12481 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4342nn0ge0d 12484 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
44 elfzle2 13454 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
4544adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
46 prmz 16559 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
47 zltlem1 12564 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
481, 46, 47syl2anr 598 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ < ๐‘ƒ โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
4945, 48mpbird 257 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ < ๐‘ƒ)
50 modid 13810 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ mod ๐‘ƒ) = ๐‘)
5140, 41, 43, 49, 50syl22anc 838 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ mod ๐‘ƒ) = ๐‘)
5234nnred 12176 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
53 prmuz2 16580 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5424, 53syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
55 eluz2gt1 12853 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
57 1mod 13817 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
5852, 56, 57syl2anc 585 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
5951, 58eqeq12d 2749 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ = 1))
6037, 59bitr3d 281 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ๐‘ = 1))
6135znegcld 12617 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
62 moddvds 16155 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ -1)))
6334, 2, 61, 62syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ -1)))
6434nncnd 12177 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
6564mullidd 11181 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
6665oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (-1 + (1 ยท ๐‘ƒ)) = (-1 + ๐‘ƒ))
67 neg1cn 12275 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
68 addcom 11349 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 + ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ + -1))
6967, 64, 68sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (-1 + ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ + -1))
70 negsub 11457 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ + -1) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
7164, 10, 70sylancl 587 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ + -1) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
7266, 69, 713eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (-1 + (1 ยท ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
7372oveq1d 7376 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1 + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) mod ๐‘ƒ))
74 neg1rr 12276 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
7574a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ -1 โˆˆ โ„)
76 modcyc 13820 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1 + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ))
7775, 41, 35, 76syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1 + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ))
78 peano2rem 11476 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7952, 78syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
80 nnm1nn0 12462 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8134, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8281nn0ge0d 12484 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8352ltm1d 12095 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
84 modid 13810 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8579, 41, 82, 83, 84syl22anc 838 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8673, 77, 853eqtr3d 2781 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (-1 mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8751, 86eqeq12d 2749 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ = (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
88 subneg 11458 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ -1) = (๐‘ + 1))
899, 10, 88sylancl 587 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ -1) = (๐‘ + 1))
9089breq2d 5121 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ -1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ + 1)))
9163, 87, 903bitr3rd 310 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ + 1) โ†” ๐‘ = (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9260, 91orbi12d 918 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ + 1)) โ†” (๐‘ = 1 โˆจ ๐‘ = (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
9333, 92bitrd 279 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ = ((๐‘โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ = 1 โˆจ ๐‘ = (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ„+crp 12923  ...cfz 13433   mod cmo 13783  โ†‘cexp 13976   โˆฅ cdvds 16144  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-phi 16646
This theorem is referenced by:  wilthlem2  26441
  Copyright terms: Public domain W3C validator