MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsext 15378
Description: Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsext ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dvdsext
StepHypRef Expression
1 breq1 4844 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
21ralrimivw 3146 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥))
3 simpll 784 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4 simplr 786 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
5 nn0z 11686 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
6 iddvds 15330 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵𝐵)
87ad2antlr 719 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐵𝐵)
9 breq2 4845 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
10 breq2 4845 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵𝑥𝐵𝐵))
119, 10bibi12d 337 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1211rspcva 3493 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
1312adantll 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
148, 13mpbird 249 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴𝐵)
15 nn0z 11686 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
16 iddvds 15330 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴𝐴)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴𝐴)
1817ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴𝐴)
19 breq2 4845 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
20 breq2 4845 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
2119, 20bibi12d 337 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐴𝐵𝐴)))
2221rspcva 3493 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
2322adantlr 707 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
2418, 23mpbid 224 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐵𝐴)
25 dvdseq 15371 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
263, 4, 14, 24, 25syl22anc 868 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)) → 𝐴 = 𝐵)
2726ex 402 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥) → 𝐴 = 𝐵))
282, 27impbid2 218 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐴𝑥𝐵𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087   class class class wbr 4841  0cn0 11576  cz 11662  cdvds 15315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14176  df-re 14177  df-im 14178  df-sqrt 14312  df-abs 14313  df-dvds 15316
This theorem is referenced by:  odmulg  18282  znchr  20228
  Copyright terms: Public domain W3C validator