Theorem clwwisshclwwsn 27318

Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6886	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
2		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlkbp 27278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
4	3	simp2d 1174	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		cshwn 13882	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
7	6	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
8	1, 7	sylan9eq 2853	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
9		simprl 788	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
10	8, 9	eqeltrd 2878	. 2 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
11		simprl 788	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
12		df-ne 2972	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ (♯‘𝑊) ↔ ¬ 𝑁 = (♯‘𝑊))
13		fzofzim 12770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	13	expcom 403	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 ≠ (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	12, 14	syl5bir 235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	15	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
17	16	impcom 397	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18		clwwisshclwws 27317	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
19	11, 17, 18	syl2anc 580	. 2 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
20	10, 19	pm2.61ian 847	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  Vcvv 3385  ∅c0 4115  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  ♯chash 13370  Word cword 13534   cyclShift ccsh 13868  Vtxcvtx 26231  ClWWalkscclwwlk 27274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-concat 13591  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-csh 13870  df-clwwlk 27275

This theorem is referenced by:  clwwnisshclwwsn  27377