Theorem clwwisshclwwsn 30634

Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlkbp 30603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
4	3	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		cshwn 14973	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
8	1, 7	sylan9eq 2818	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
9		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
10	8, 9	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
11		simprl 783	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
12		df-ne 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ (♯‘𝑊) ↔ ¬ 𝑁 = (♯‘𝑊))
13		fzofzim 13868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	13	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 ≠ (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	12, 14	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
17	16	impcom 413	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18		clwwisshclwws 30633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
19	11, 17, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
20	10, 19	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  ...cfz 13663  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Word cword 14682   cyclShift ccsh 14964  Vtxcvtx 29601  ClWWalkscclwwlk 30599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-hash 14499  df-word 14683  df-lsw 14732  df-concat 14740  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-csh 14965  df-clwwlk 30600

This theorem is used by:  clwwnisshclwwsn  30677