Theorem clwwisshclwwsn 30489

Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
2		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlkbp 30458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
4	3	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		cshwn 14871	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
8	1, 7	sylan9eq 2815	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
9		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
10	8, 9	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
11		simprl 783	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
12		df-ne 2956	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ (♯‘𝑊) ↔ ¬ 𝑁 = (♯‘𝑊))
13		fzofzim 13768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	13	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 ≠ (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	12, 14	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
17	16	impcom 413	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18		clwwisshclwws 30488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
19	11, 17, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((¬ 𝑁 = (♯‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
20	10, 19	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  ...cfz 13564  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581   cyclShift ccsh 14862  Vtxcvtx 29456  ClWWalkscclwwlk 30454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-ico 13407  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-hash 14398  df-word 14582  df-lsw 14631  df-concat 14639  df-substr 14712  df-pfx 14744  df-csh 14863  df-clwwlk 30455

This theorem is used by:  clwwnisshclwwsn  30532