Theorem gcdle1d 40367

Description: The greatest common divisor of a positive integer and another integer is less than or equal to the positive integer. (Contributed by SN, 25-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdle1d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
gcdle1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdle1d	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem gcdle1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdle1d.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		gcdle1d.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		gcddvds 16255	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
6	5	simpld 496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
7	2, 3	gcdcld 16260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12470	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
9		dvdsle 16064	. . 3 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀))
10	8, 1, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀))
11	6, 10	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307   ≤ cle 11056  ℕcn 12019  ℤcz 12365   ∥ cdvds 16008   gcd cgcd 16246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-gcd 16247

This theorem is referenced by: (None)