Theorem gcdle1d 43124

Description: The greatest common divisor of a positive integer and another integer is less than or equal to the positive integer. (Contributed by SN, 25-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdle1d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
gcdle1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdle1d	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem gcdle1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdle1d.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		gcdle1d.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		gcddvds 16579	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
6	5	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
7	2, 3	gcdcld 16584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12627	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
9		dvdsle 16386	. . 3 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀))
10	8, 1, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀))
11	6, 10	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℤcz 12602   ∥ cdvds 16328   gcd cgcd 16570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-gcd 16571

This theorem is used by: (None)