Theorem gcdcld 16421

Description: Closure of the gcd operator. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcld	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gcdcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcl 16419	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7384  ℕ₀cn0 12444  ℤcz 12530   gcd cgcd 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-pre-sup 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11844  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-rp 12947  df-seq 13939  df-exp 14000  df-cj 15018  df-re 15019  df-im 15020  df-sqrt 15154  df-abs 15155  df-dvds 16170  df-gcd 16408

This theorem is referenced by:  bezoutlem4  16456  mulgcd  16462  dvdsmulgcd  16469  mulgcddvds  16564  rpmulgcd2  16565  qredeu  16567  rpmul  16568  divgcdcoprmex  16575  cncongr1  16576  pythagtriplem3  16723  pythagtriplem6  16726  pythagtriplem7  16727  pockthlem  16810  odmulg  19374  odmulgeq  19375  odadd1  19662  odadd2  19663  torsubg  19668  znunit  21029  znrrg  21031  2sqlem8  26833  2sqcoprm  26842  divnumden2  31825  qqhval2lem  32692  gcdle1d  40914  gcdle2d  40915