Theorem gcdcld 16566

Description: Closure of the gcd operator. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcld	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gcdcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcl 16564	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591   gcd cgcd 16552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553

This theorem is referenced by:  bezoutlem4  16600  mulgcd  16606  dvdsmulgcd  16614  mulgcddvds  16713  rpmulgcd2  16714  qredeu  16716  rpmul  16717  divgcdcoprmex  16724  cncongr1  16725  pythagtriplem3  16878  pythagtriplem6  16881  pythagtriplem7  16882  pockthlem  16965  odmulg  19626  odmulgeq  19627  odadd1  19918  odadd2  19919  torsubg  19924  znunit  21682  znrrg  21684  2sqlem8  27556  2sqcoprm  27565  elq2  33097  divnumden2  33101  qqhval2lem  34316  gcdle1d  42981  gcdle2d  42982