Theorem fznn 13512

Description: Finite set of sequential integers starting at 1. (Contributed by NM, 31-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem fznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13438	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2		elnnuz 12795	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 3	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
5		nnz 12513	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
6		eluz 12769	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
7	5, 6	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	8	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	4, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1c1 11031   ≤ cle 11171  ℕcn 12149  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  elfz1b  13513  elfz1uz  13514  fznnfl  13786  isercoll  15595  incexc2  15765  dvdsssfz1  16249  prmind2  16616  vdwlem6  16918  prmdvdsprmo  16974  odlem2  19472  gexlem2  19515  gexcl2  19522  efgredlemd  19677  efgredlem  19680  ablfac1eu  20008  ablfaclem3  20022  dvdsflf1o  27157  vmasum  27187  logfac2  27188  lgseisenlem1  27346  lgseisenlem2  27347  lgseisenlem3  27348  lgsquadlem1  27351  lgsquadlem2  27352  2sqlem8  27397  chebbnd1lem1  27440  wwlksnredwwlkn0  29952  clwwlkf  30105  psgnfzto1stlem  33163  smatrcl  33934  reprinfz1  34760  poimirlem13  37805  poimirlem15  37807  lcmineqlem4  42323