Theorem fznn 13506

Description: Finite set of sequential integers starting at 1. (Contributed by NM, 31-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem fznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13432	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2		elnnuz 12789	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 3	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
5		nnz 12507	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
6		eluz 12763	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
7	5, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	8	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	4, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   ≤ cle 11165  ℕcn 12143  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  elfz1b  13507  elfz1uz  13508  fznnfl  13780  isercoll  15589  incexc2  15759  dvdsssfz1  16243  prmind2  16610  vdwlem6  16912  prmdvdsprmo  16968  odlem2  19466  gexlem2  19509  gexcl2  19516  efgredlemd  19671  efgredlem  19674  ablfac1eu  20002  ablfaclem3  20016  dvdsflf1o  27151  vmasum  27181  logfac2  27182  lgseisenlem1  27340  lgseisenlem2  27341  lgseisenlem3  27342  lgsquadlem1  27345  lgsquadlem2  27346  2sqlem8  27391  chebbnd1lem1  27434  wwlksnredwwlkn0  29918  clwwlkf  30071  psgnfzto1stlem  33131  smatrcl  33902  reprinfz1  34728  poimirlem13  37773  poimirlem15  37775  lcmineqlem4  42225