Theorem hashdifsnp1 14596

Description: If the size of a set is a nonnegative integer increased by 1, the size of the set with one of its elements removed is this nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifsnp1	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem hashdifsnp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2		eleq1a 2855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
3	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
4	3	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		hashclb 14447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
6	5	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
7	4, 6	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
8	7	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
9	8	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
10	1, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
11	10	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12	11	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
13	12	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14		snssi 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17		hashssdif 14502	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
18	13, 16, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
19		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})))
20		hashsng 14458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑁}) = 1)
21	20	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22	21	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23		nn0cn 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℂ)
24		1cnd 11251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	pncand 11619	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26	25	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
27	22, 26	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
28	19, 27	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
29	18, 28	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
30	29	ex 418	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Fincfn 8959  1c1 11150   + caddc 11152   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12553  ♯chash 14419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-hash 14420

This theorem is used by:  fi1uzind  14597  brfi1indALT  14600  cusgrsize2inds  29945  fsuppind  43501