Theorem hashdifsnp1 14468

Description: If the size of a set is a nonnegative integer increased by 1, the size of the set with one of its elements removed is this nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifsnp1	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem hashdifsnp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2		eleq1a 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
4	3	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		hashclb 14320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
6	5	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
7	4, 6	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
8	7	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
9	8	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
11	10	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12	11	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
13	12	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14		snssi 4729	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15	14	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17		hashssdif 14374	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
18	13, 16, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
19		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})))
20		hashsng 14331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑁}) = 1)
21	20	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22	21	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23		nn0cn 12447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℂ)
24		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	pncand 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26	25	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
27	22, 26	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
28	19, 27	sylan9eqr 2793	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
29	18, 28	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
30	29	ex 412	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  fi1uzind  14469  brfi1indALT  14472  cusgrsize2inds  29522  fsuppind  43023