Theorem hashdifsnp1 14463

Description: If the size of a set is a nonnegative integer increased by 1, the size of the set with one of its elements removed is this nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifsnp1	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem hashdifsnp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2		eleq1a 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
3	2	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
4	3	imp 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		hashclb 14315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
6	5	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
7	4, 6	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
8	7	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑉 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
9	8	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
11	10	impcom 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12	11	3adant2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
13	12	imp 408	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14		snssi 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15	14	3ad2ant2 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17		hashssdif 14369	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
18	13, 16, 17	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
19		oveq1 7367	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})))
20		hashsng 14326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑁}) = 1)
21	20	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22	21	3ad2ant2 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23		nn0cn 12442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℂ)
24		1cnd 11134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	pncand 11501	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26	25	3ad2ant3 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
27	22, 26	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
28	19, 27	sylan9eqr 2798	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
29	18, 28	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
30	29	ex 414	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  ℕ₀cn0 12432  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  fi1uzind  14464  brfi1indALT  14467  cusgrsize2inds  29544  fsuppind  43055