MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdifsnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdifsnp1 13663
Description: If the size of a set is a nonnegative integer increased by 1, the size of the set with one of its elements removed is this nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashdifsnp1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem hashdifsnp1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11747 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2 eleq1a 2855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
32adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
43imp 398 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 hashclb 13532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
65ad2antlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
87ex 405 . . . . . . . . 9 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
98ex 405 . . . . . . . 8 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
1110impcom 399 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12113adant2 1111 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
1312imp 398 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14 snssi 4611 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15143ad2ant2 1114 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
1615adantr 473 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17 hashssdif 13584 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
1813, 16, 17syl2anc 576 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
19 oveq1 6981 . . . 4 ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})))
20 hashsng 13542 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (♯‘{𝑁}) = 1)
2120oveq2d 6990 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22213ad2ant2 1114 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23 nn0cn 11716 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
24 1cnd 10432 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10797 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26253ad2ant3 1115 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
2722, 26eqtrd 2808 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
2819, 27sylan9eqr 2830 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
2918, 28eqtrd 2808 . 2 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
3029ex 405 1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cdif 3820  wss 3823  {csn 4435  cfv 6185  (class class class)co 6974  Fincfn 8304  1c1 10334   + caddc 10336  cmin 10668  0cn0 11705  chash 13503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-hash 13504
This theorem is referenced by:  fi1uzind  13664  brfi1indALT  13667  cusgrsize2inds  26950
  Copyright terms: Public domain W3C validator