MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdifsnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdifsnp1 14515
Description: If the size of a set is a nonnegative integer increased by 1, the size of the set with one of its elements removed is this nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashdifsnp1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem hashdifsnp1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12564 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2 eleq1a 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
32adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
43imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 hashclb 14375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
65ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
87ex 411 . . . . . . . . 9 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
98ex 411 . . . . . . . 8 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
1110impcom 406 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12113adant2 1128 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
1312imp 405 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14 snssi 4817 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15143ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
1615adantr 479 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17 hashssdif 14429 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
1813, 16, 17syl2anc 582 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
19 oveq1 7431 . . . 4 ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})))
20 hashsng 14386 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (♯‘{𝑁}) = 1)
2120oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22213ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23 nn0cn 12534 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
24 1cnd 11259 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 11622 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26253ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
2722, 26eqtrd 2766 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
2819, 27sylan9eqr 2788 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
2918, 28eqtrd 2766 . 2 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
3029ex 411 1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  wss 3947  {csn 4633  cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  1c1 11159   + caddc 11161  cmin 11494  0cn0 12524  chash 14347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348
This theorem is referenced by:  fi1uzind  14516  brfi1indALT  14519  cusgrsize2inds  29390  fsuppind  42062
  Copyright terms: Public domain W3C validator