Theorem lfuhgr3 35612

Description: A hypergraph is loop-free if and only if none of its edges connect to only one vertex. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr3.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr3.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr3	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem lfuhgr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr3.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr3.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr2 35611	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
4		df-ne 2959	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 1)
5	4	ralbii 3111	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1)
6		ralnex 3091	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1)
7		df-rex 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
8	7	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
9	5, 6, 8	3bitri 300	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
10		hashen1 14402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o))
11	10	elv 3460	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o)
12		en1 9017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 1o ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
13	11, 12	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
14	13	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
15	14	exbii 1878	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
16	15	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
17		19.3v 2012	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
18		19.29 1903	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
19	17, 18	sylanbr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
20		eleq1 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑎} → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	biimpac 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
22	21	eximi 1865	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
23	19, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
24	23	exlimiv 1960	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
25		dfclel 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)))
26		pm3.22 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
27	26	eximi 1865	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
28	25, 27	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
29	28	eximi 1865	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
30		excomim 2198	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
31		19.40 1916	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
32		ax5e 1942	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
33	32	anim1i 626	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
35	34	eximi 1865	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
36	29, 30, 35	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
37	24, 36	impbii 212	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
39	9, 16, 38	3bitri 300	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
40	3, 39	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4562  {csn 4589   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936  1c1 11096   ≤ cle 11239  2c2 12290  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347  Edgcedg 29397  UHGraphcuhgr 29406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-edg 29398  df-uhgr 29408

This theorem is referenced by:  acycgrislfgr  35644