Theorem lfuhgr3 33713

Description: A hypergraph is loop-free if and only if none of its edges connect to only one vertex. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr3.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr3.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr3	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem lfuhgr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr3.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr3.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr2 33712	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
4		df-ne 2944	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 1)
5	4	ralbii 3096	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1)
6		ralnex 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1)
7		df-rex 3074	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
8	7	notbii 319	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
9	5, 6, 8	3bitri 296	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
10		hashen1 14270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o))
11	10	elv 3451	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o)
12		en1 8965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 1o ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
13	11, 12	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
14	13	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
15	14	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
16	15	notbii 319	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
17		19.3v 1985	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
18		19.29 1876	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
19	17, 18	sylanbr 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
20		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑎} → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	biimpac 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
22	21	eximi 1837	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
23	19, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
24	23	exlimiv 1933	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
25		dfclel 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)))
26		pm3.22 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
27	26	eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
28	25, 27	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
29	28	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
30		excomim 2163	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
31		19.40 1889	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
32		ax5e 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
33	32	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
35	34	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
36	29, 30, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
37	24, 36	impbii 208	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	notbii 319	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
39	9, 16, 38	3bitri 296	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
40	3, 39	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  1_oc1o 8405   ≈ cen 8880  1c1 11052   ≤ cle 11190  2c2 12208  ♯chash 14230  Vtxcvtx 27947  iEdgciedg 27948  Edgcedg 27998  UHGraphcuhgr 28007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-edg 27999  df-uhgr 28009

This theorem is referenced by:  acycgrislfgr  33746