Theorem lfuhgr3 35117

Description: A hypergraph is loop-free if and only if none of its edges connect to only one vertex. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr3.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr3.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr3	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem lfuhgr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr3.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr3.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr2 35116	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
4		df-ne 2940	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 1)
5	4	ralbii 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1)
6		ralnex 3071	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1)
7		df-rex 3070	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
8	7	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
9	5, 6, 8	3bitri 297	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
10		hashen1 14412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o))
11	10	elv 3484	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o)
12		en1 9069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 1o ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
13	11, 12	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
14	13	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
15	14	exbii 1846	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
16	15	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
17		19.3v 1980	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
18		19.29 1872	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
19	17, 18	sylanbr 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
20		eleq1 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑎} → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	biimpac 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
22	21	eximi 1833	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
23	19, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
24	23	exlimiv 1929	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
25		dfclel 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)))
26		pm3.22 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
27	26	eximi 1833	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
28	25, 27	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
29	28	eximi 1833	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
30		excomim 2162	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
31		19.40 1885	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
32		ax5e 1911	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
33	32	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
35	34	eximi 1833	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
36	29, 30, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
37	24, 36	impbii 209	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
39	9, 16, 38	3bitri 297	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
40	3, 39	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1777   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3434  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4606  {csn 4632   class class class wbr 5149  dom cdm 5690  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  1_oc1o 8504   ≈ cen 8987  1c1 11160   ≤ cle 11300  2c2 12325  ♯chash 14372  Vtxcvtx 29036  iEdgciedg 29037  Edgcedg 29087  UHGraphcuhgr 29096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-2 12333  df-n0 12531  df-xnn0 12604  df-z 12618  df-uz 12883  df-fz 13551  df-hash 14373  df-edg 29088  df-uhgr 29098

This theorem is referenced by:  acycgrislfgr  35149