Theorem lfuhgr3 35321

Description: A hypergraph is loop-free if and only if none of its edges connect to only one vertex. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr3.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr3.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr3	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem lfuhgr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr3.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr3.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr2 35320	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
4		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 1)
5	4	ralbii 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1)
6		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1)
7		df-rex 3063	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
8	7	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
9	5, 6, 8	3bitri 297	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
10		hashen1 14326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o))
11	10	elv 3435	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o)
12		en1 8965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 1o ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
13	11, 12	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
14	13	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
15	14	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
16	15	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
17		19.3v 1984	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
18		19.29 1875	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
19	17, 18	sylanbr 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
20		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑎} → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	biimpac 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
22	21	eximi 1837	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
23	19, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
24	23	exlimiv 1932	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
25		dfclel 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)))
26		pm3.22 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
27	26	eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
28	25, 27	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
29	28	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
30		excomim 2169	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
31		19.40 1888	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
32		ax5e 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
33	32	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
35	34	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
36	29, 30, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
37	24, 36	impbii 209	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
39	9, 16, 38	3bitri 297	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
40	3, 39	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  1_oc1o 8392   ≈ cen 8884  1c1 11033   ≤ cle 11174  2c2 12230  ♯chash 14286  Vtxcvtx 29082  iEdgciedg 29083  Edgcedg 29133  UHGraphcuhgr 29142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287  df-edg 29134  df-uhgr 29144

This theorem is referenced by:  acycgrislfgr  35353