Theorem lfuhgr3 35336

Description: A hypergraph is loop-free if and only if none of its edges connect to only one vertex. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr3.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr3.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr3	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem lfuhgr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr3.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr3.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr2 35335	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
4		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 1)
5	4	ralbii 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1)
6		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ¬ (♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1)
7		df-rex 3063	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
8	7	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
9	5, 6, 8	3bitri 297	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1))
10		hashen1 14305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o))
11	10	elv 3447	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ≈ 1o)
12		en1 8973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 1o ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
13	11, 12	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎})
14	13	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
15	14	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
16	15	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 1) ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
17		19.3v 1984	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
18		19.29 1875	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
19	17, 18	sylanbr 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
20		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑎} → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	biimpac 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
22	21	eximi 1837	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
23	19, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
24	23	exlimiv 1932	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
25		dfclel 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)))
26		pm3.22 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
27	26	eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = {𝑎} ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
28	25, 27	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
29	28	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
30		excomim 2169	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}))
31		19.40 1888	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
32		ax5e 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺))
33	32	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑎 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
35	34	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑎(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑥 = {𝑎}) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
36	29, 30, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}))
37	24, 36	impbii 209	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∃𝑎 𝑥 = {𝑎}) ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
39	9, 16, 38	3bitri 297	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
40	3, 39	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892  1c1 11039   ≤ cle 11179  2c2 12212  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  Edgcedg 29132  UHGraphcuhgr 29141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-edg 29133  df-uhgr 29143

This theorem is referenced by:  acycgrislfgr  35368